|
Xuleta:
1-Un ordinador personal té operatius dos programes antivirus `A1` i `A2` que actuen simultàniament i de forma independent. Davant la presència d'un virus, el programa `A1` el detecta amb una probabilitat de `0.9` i el programa `A2` el detecta amb una probabilitat de `0.8`. Calculeu de forma raonada: a) La probabilitat que un virus qualsevol sigui detectat. (1 punt) b) La probabilitat que un virus sigui detectat pel programa `A1` i no per`A2`. (0,75 punts) c) Si un virus ha estat detectat, quina és la probabilitat que l’hagi detectat l’antivirus `A1`? (0,75 punts) 2-En un poble hi ha dos instituts que anomenarem `A1` i` A2`. En tots dos instituts es pot estudiar el batxillerat científic (que anomenarem `B1`) o l’humanístic (que anomenarem `B2`). Seleccionem un alumne a l’atzar i se sap que la probabilitat que pertanyi a l’institut` A1` és de `0.3`, la probabilitat que pertanyi a l’institut `A2` és de `0.7`. D’altra banda, la probabilitat que estudiï el batxillerat científic si sabem que pertany a l’institut `A1` és de `0.55` mentre que la probabilitat que estudiï el batxillerat científic si sabem que pertany a l’institut `A2` és de `0.59`. a) Quina és la probabilitat que l’alumne estudiï el batxillerat científic? (1.25 punts) b) Quina és la probabilitat que estudiï a l’institut `A1` si sabem que estudia el batxillerat científic? (1.25 punts) 3-Els components electrònics produïts per una determinada empresa són defectuosos amb una probabilitat de `0.01`. L’empresa ven els components en paquets de `10` i es compromet a retornar els diners si el paquet conté `2` o més components defectuosos. a) Calculeu la probabilitat que et retornin els diners si compres un paquet de components. (1,25 punts) b) Una persona ha comprat `3` paquets de components, quina és la probabilitat que li retornin els diners de, com a mínim, un dels paquets? (1,25 punts) 4-Volem conèixer el percentatge de persones que parlen anglès en una població determinada. Prenem una mostra aleatòria de `500` persones de les quals resulta que `189` parlen anglès. a) Doneu l’estimació puntual de la proporció i del percentatge de persones que parlen anglès en aquella població. (1 punt) b) Escriviu un interval de confiança del `95%` per al percentatge de persones que parlen anglès en aquella població. (Recordeu que si `Z` segueix una distribució Normal `(0,1)` la `P(-1.96 <= Z <= 1.96) = 0.95)` (1.5 punts) 4'-(Versió lliure del problema anterior posada en context actual. Eleccions a president del Barça 2026) 4'-Volem conèixer el percentatge de persones que voten a en Laporta en les elccions a president del Barça 2026. El resultat del sondeig ha estat el producte de `5762` entrevistes a peu d'urna, de les quals resulta que `3837` voten a en Laporta. Font. a) Doneu l’estimació puntual de la proporció i del percentatge de persones que voten a en Laporta en la població formada pels socis del Barça que van anar a votar. (1 punt) b) Escriviu un interval de confiança del `95%` per al percentatge de persones que voten a en Laporta entre els socis del Barça que van anar a votar. (Recordeu que si `Z` segueix una distribució Normal `(0,1)` la `P(-1.96 <= Z <= 1.96) = 0.95)` (1.5 punts) c) Si el resultat real de les eleccions va ser que van votar el `68,1%` an en Joan Laporta. Que n'opineu del sondeig? Font. 5-Els envasos d'una marca determinada de iogurts indiquen que contenen de mitjana `150` grams de iogurt. Hem comprat deu iogurts, n'hem pesat el contingut i hem obtingut les dades següents (en grams): a) Construïu un interval de confiança del `95%` per a la mitjana del pes dels iogurts, suposant que el pes segueix una distribució normal amb una desviació típica de `3` grams. (Recordeu que si `Z` segueix una distribució Normal `(0,1)` la `P(-1.96 <= Z <= 1.96) = 0.95)` (1.5 punts) b) A partir del resultat obtingut en l’apartat anterior podem afirmar que la informació que hi ha a l’etiqueta és errònia? Justifiqueu la resposta. (1 punt) 6-Es vol saber la mitjana d’euros que es gasta setmanalment l’alumnat a la cafeteria de l’institut. S’ha seleccionat una mostra de `250` estudiants i se’ls ha demanat aquesta dada. En aquesta mostra hem obtingut una despesa mitjana de `5` euros, amb una desviació típica d’`1,5`. Per resoldre aquest problema recordeu que si `Z` segueix una distribució Normal `(0,1)` la `P(-1.96 <= Z <= 1.96) = 0.95)` i`P(-2,58 <= Z <= 2,58) = 0.99`. a) Construïu un interval de confiança del 95% per a la mitjana d’euros que es gasta setmanalment l’alumnat a la cafeteria. (1 punt) b) Construïu un interval de confiança del `99%` per a la mitjana d’euros que es gasta setmanalment l’alumnat a la cafeteria. (1 punt) c) Expliqueu perquè els dos intervals anteriors són diferents i quina informació ens dona exactament cada un d’ells. (0.5 punts) - (2025-juny-1-3) Fa uns anys una granja de vaques frisones dedicada a la producció de llet va fer un estudi sobre el pes de les seves vaques i va arribar a la conclusió que aquesta variable seguia una distribució normal amb una mitjana de `580` kg i una desviació típica de `25` kg. Fórmules per a resoldre l’exercici:
`[p-z_gamma \sqrt{(p(1-p))/n}` `,` `p+z_gamma \sqrt{(p(1-p))/n}]` `-`per a la mitjana (mostres normals amb la variància `sigma^2` coneguda): `[overline{x}-z_gamma (sigma)/\sqrt{n}` `,` `overline{x}+z_gamma (sigma)/\sqrt{n}]` `-`per a la mitjana (mostres grans amb la variància `sigma^2` desconeguda): `[overline{x}-z_gamma (s)/\sqrt{n}` `,` `overline{x}+z_gamma (s)/\sqrt{n}]` a) Calculeu, de manera raonada, la probabilitat que si agafem a l’atzar una vaca frisona d’aquesta granja, el seu pes estigui entre `531` i `629` kg. [1 punt] b) Creiem que un canvi en el tipus de farratge que es dona a les vaques n’ha modificat la mitjana del pes. Per a comprovar-ho, hem obtingut el pes d’una mostra de `10` vaques de la granja escollides a l’atzar: Trobeu un interval de confiança del `95 %` per a la mitjana del pes de les vaques, suposant que aquest pes segueix una distribució normal amb una desviació típica de `25` kg. A partir del resultat obtingut, podem afirmar que la mitjana del pes de les vaques ha canviat? Justifiqueu la resposta. [1,5 punts] - (2025-juny-1-4) Al Congrés Català d’Educació Matemàtica (`C2EM`), que se celebrarà a Lleida el proper mes de juliol, hi assistiran docents d’universitat, d’educació secundària i d’educació infantil i primària.A hores d’ara, un `10 %` dels docents inscrits són d’universitat, un `50 %` són de secundària i la resta són d’infantil i primària. D’altra banda, un `40 %` dels docents inscrits d’universitat, un `52 %` dels docents inscrits de secundària i un `65 %` dels docents inscrits d’infantil i primària són dones. Trieu UNA de les dues opcions (A o B) i responeu a les qüestions que s’hi plantegen. OPCIÓ A a) Calculeu la probabilitat que una persona escollida a l’atzar d’entre tots els inscrits sigui una dona. Si d’entre totes les dones inscrites n’escollim una a l’atzar, quina probabilitat hi ha que sigui docent de secundària? [1,25 punts] b) Calculeu el nombre de docents que s’han inscrit al Congrés de cada nivell educatiu si sabem que en total hi ha `476` dones inscrites. [1,25 punts] - (2025-Juny-TEI-4-2) Una empresa fabrica bicicletes convencionals i elèctriques. El responsable de qualitat de l’empresa ha mirat l’historial de vendes i ha calculat que el `5 %` de les bicicletes convencionals havien tingut algun tipus de problema que n’havia requerit una revisió postvenda. En el cas de les bicicletes elèctriques, aquest percentatge era del `15 %`. Actualment, el `25 %` de la producció és de bicicletes convencionals i el `75 %`, de bicicletes elèctriques a) Si escollim una bicicleta a l’atzar, quina és la probabilitat que tingui algun tipus de problema que requereixi una revisió postvenda? Si la bicicleta escollida a l’atzar presenta algun tipus de problema que requereixi una revisió postvenda, quina és la probabilitat que sigui elèctrica? [1,25 punts] b) El responsable de qualitat creu que la dada segons la qual un `15 %` de bicicletes elèc-triques tenen algun problema que requereix el servei postvenda ha quedat desfasada. Considera que actualment tant la tecnologia com els controls de qualitat previs han millorat molt i aquesta proporció ha disminuït. Per a comprovar-ho, pren una mostra de `100` bicicletes elèctriques que ha venut en els darrers mesos i observa que només `8` han requerit una revisió postvenda. A partir d’aquestes dades, trobeu un interval de confiança del `95 %` per a la proporció de bicicletes elèctriques que tenen algun problema i requereixen una revisió postvenda. A partir del resultat obtingut, podem afirmar que aquesta proporció ha disminuït? [1,25 punts] Fórmules per a resoldre l’exercici:
`[p-z_gamma \sqrt{(p(1-p))/n}` `,` `p+z_gamma \sqrt{(p(1-p))/n}]` `-`per a la mitjana (mostres normals amb la variància `sigma^2` coneguda): `[overline{x}-z_gamma (sigma)/\sqrt{n}` `,` `overline{x}+z_gamma (sigma)/\sqrt{n}]` `-`per a la mitjana (mostres grans amb la variància `sigma^2` desconeguda): `[overline{x}-z_gamma (s)/\sqrt{n}` `,` `overline{x}+z_gamma (s)/\sqrt{n}]` - (2025-Juny-TEI-4-4B) Una fàbrica es dedica a elaborar pasta. Tot el procés de producció es pot resumir en tres etapes: 1. Compra de matèries primeres. Per a elaborar la pasta, l’empresa ha de comprar oli, farina i sal de bona qualitat. La compra la pot fer a tres proveïdors diferents. El primer proveïdor ven l’oli a `3` €/L, la farina a `0,6` €/kg i la sal a `1` €/kg. El segon proveïdor ven l’oli a `3,5` €/L, la farina a `1` €/kg i la sal a `0,7` €/kg. Finalment, el tercer proveïdor ven l’oli a `2,5` €/L, la farina a `0,8` €/kg i la sal a `0,9` €/kg. 2. Elaboració, empaquetament i control de qualitat. Es fabrica i s’envasa la pasta. Posterior- ment, es comprova que la pasta estigui ben feta i envasada correctament, i es verifica que els paquets pesin `500` g de mitjana. 3. Venda. L’estratègia de venda i el preu dels paquets es determinen fent un estudi de mercat. OPCIÓ B a) L’empresa ha fet una gran comanda al primer proveïdor i s’ha gastat `1.320` €. Ha comprat el triple de farina que de sal. A més, la quantitat gastada en farina representa el `30 %` dels diners gastats en oli. Quina quantitat de cada producte ha comprat? [1,25 punts] b) En el control de qualitat, s’ha pres una mostra a l’atzar del pes en grams de 9 paquets de pasta i s’han obtingut els valors següents: Construïu un interval de confiança del `95 %` per a la mitjana del pes del paquet de pasta, suposant que aquest pes segueix una distribució normal amb una desviació típica de `4` g. A partir d’aquestes dades, raoneu breument si podem afirmar que l’etiqueta que diu que els paquets són de `500` g és incorrecta. [1,25 punts] - (2025-setembre-3-3) En un parc natural, els visitants hi poden accedir en cotxe, en bicicleta o a peu. Un cop dins del parc, els visitants poden fer una ruta guiada o bé visitar-lo pel seu compte. a) Sabem que el `60 %` dels visitants hi accedeixen en cotxe, el `15 %` en bicicleta i el `25 %` restant a peu. També sabem que dels que hi arriben en cotxe el `80 %` fan la ruta guiada, mentre que dels que hi arriben en bicicleta la fan el `60 %` i dels que hi arriben a peu només la fan el `30 %`. Si escollim un visitant a l’atzar, quina és la probabilitat que faci la ruta guiada? Si sabem que ha fet la ruta guiada, quina és la probabilitat que hagi accedit al parc en cotxe? [1,25 punts] b) Volem fer un estudi del temps que passen de mitjana els visitants dins del parc. Hem preguntat a `100` visitants quanta estona han estat dins del parc i hem obtingut una mitjana de `231` minuts amb una desviació típica de `32` minuts. Construïu un interval de confiança del `95 %` per al temps mitjà que passen els visi-tants dins del parc. [1,25 punts] Fórmules per a resoldre l’exercici:
`[p-z_gamma \sqrt{(p(1-p))/n}` `,` `p+z_gamma \sqrt{(p(1-p))/n}]` `-`per a la mitjana (mostres normals amb la variància `sigma^2` coneguda): `[overline{x}-z_gamma (sigma)/\sqrt{n}` `,` `overline{x}+z_gamma (sigma)/\sqrt{n}]` `-`per a la mitjana (mostres grans amb la variància `sigma^2` desconeguda): `[overline{x}-z_gamma (s)/\sqrt{n}` `,` `overline{x}+z_gamma (s)/\sqrt{n}]` - (2025-setembre-3-4) Una empresa fabrica cotxes elèctrics i cotxes de motor de combustió. L’empresa té tres línies de fabricació: `L1`, `L2` i` L3`. La taula següent mostra el nombre de vehicles de cada tipus que hi ha en aquest moment en cada línia. D’altra banda, sabem que el preu de venda dels vehicles elèctrics és de `40.000` € i el preu de venda dels vehicles de motor de combustió és de `30.000` €.
El cost mitjà de manteniment i consum per cada `100` km és d’`1` € per als vehicles elèctrics i de `6` € per als de motor de combustió. El `2` % de la producció de vehicles de motor de combustió surt de l’empresa amb algun defecte, mentre que només l’`1` % dels vehicles elèctrics surt amb alguna tara. OPCIÓ B a) Hi ha hagut una errada en el recompte de vehicles elèctrics de la `L2`. El valor `30` de la taula de l’enunciat és erroni, però sabem que si es venguessin tots els vehicles de la `L2`, els ingressos d’aquesta línia serien de `3.720.000` €. Quants cotxes elèctrics hi ha realment a la `L2`? Si escollim a l’atzar un dels vehicles que hi ha ara a la `L2`, quina és la probabilitat que sigui de motor elèctric, si sabem que ha sortit defectuós? [1,5 punts] b) Si sabem que la despesa acumulada entre la compra i els kilòmetres recorreguts d’un vehicle de combustió és de `36.000` €, quants kilòmetres ha recorregut? Quina despesa acumulada tindria un vehicle elèctric que hagués recorregut aquest mateix nombre de kilòmetres? [1 punt] - (2024-juny-1-5) El Guiu i el Roc són uns grans aficionats al cinema i miren moltes pel·lícules de la plataforma a la qual estan subscrits. Els agrada tant que, si agafem una pe?lícula de la plataforma a l’atzar, la probabilitat que el Guiu l’hagi vista és de `0,5`, la probabilitat que el Roc l’hagi vista és de `0,6` i la probabilitat que l’hagin vista tots dos és de `0,25`. a) Si triem una pel·lícula a l’atzar, calculeu la probabilitat que almenys un dels dos l’hagi vista. Calculeu també la probabilitat que l’hagi vista el Roc però no el Guiu. [1,5 punts] b) Si triem una pel·lícula a l’atzar, calculeu la probabilitat que el Guiu l’hagi vista si sabem que almenys un dels dos l’ha vista. [1 punt] - (2024-juny-1-6) Volem saber el percentatge de persones que estarien a favor de la construcció d’un poliesportiu municipal en una població determinada. Prenem una mostra aleatòria de `350` persones, `218` de les quals es manifesten a favor de la proposta i la resta, en contra a) Doneu l’estimació puntual de la proporció i del percentatge de persones que estan a favor de la construcció del poliesportiu. [1 punt] b) Escriviu un interval de confiança del `95 %` per al percentatge de persones que estan a favor de la construcció del poliesportiu en aquesta població. Nota: Recordeu que, si `Z` segueix una distribució normal `(0, 1), P(–1,96 = Z = 1,96) = 0,95`. Recordeu també que, per a mostres grans, l’interval de confiança per a una proporció amb un nivell de confiança `gamma in (0, 1)` . - (2024-juny-TEI-5-5)En una cafeteria, al migdia, ofereixen la possibilitat d’escollir entre el menú del dia (opció `A1`) o un plat combinat (opció `A2`). Alguns clients també prenen cafè (opció `B1`) i d’altres no (opció `B2`). Si seleccionem un client de la cafeteria a l’atzar, la probabilitat que esculli el menú del dia és de `0,6` i la probabilitat que esculli un plat combinat és de `0,4`. D’altra banda, la probabilitat que prengui cafè si escull el menú del dia és de `0,75`, mentre que la probabilitat que prengui cafè si escull un plat combinat és de `0,5`. a) Quina és la probabilitat que el client prengui cafè? [1,25 punts] b) Quina és la probabilitat que hagi escollit el menú del dia si sabem que ha pres cafè? [1,25 punts] - (2024-juny-TEI-5-6) Es vol saber el temps mitjà, en minuts, que l’alumnat d’un institut passa diàriament connectat a una xarxa social determinada. S’ha seleccionat una mostra de `175` estudiants i se’ls ha demanat aquesta dada. En aquesta mostra s’ha obtingut una mitjana de `90` minuts, amb una desviació típica de `7` minuts. Nota: Per a resoldre aquest problema, recordeu que, si Z segueix una distribució normal `(0,1) ->P(-1,96<=z<=1,96)=0,95` i `P(-2,58<=Z<=2,58)=0,99`. Recordeu també que l’interval de confiança per a la mitjana amb un nivell de confiança `gamma \in(0,1)` quan la variància `sigma^2` és desconeguda i la mostra és gran és donat per . a) Construïu un interval de confiança del `95 %` per al temps mitjà que l’alumnat passa diàriament connectat a aquesta xarxa social. [1 punt] b) Construïu un interval de confiança del `99 %` per al temps mitjà que l’alumnat passa diàriament connectat a aquesta xarxa social. Expliqueu per què aquest interval i el de l’apartat anterior són diferents i quina informació ens dona exactament cada un. [1,5 punts] - (2024-setembre-3-5) Un centre esportiu té dues zones: la zona de la piscina (`A1`) i la zona del gimnàs (`A2`). Els abonats han de triar a quina de les dues zones (només una) volen accedir i també si volen anar al centre esportiu en horari de matí (opció `B1`) o en horari de tarda (opció `B2`). Si seleccionem un abonat del centre a l’atzar, sabem que la probabilitat que utilitzi la zona de la piscina és de `0,4` i la probabilitat que utilitzi el gimnàs és de `0,6`. D’altra banda, la probabilitat que estigui abonat en horari de matí, si sabem que utilitza la zona de la piscina, és de `0,55`, mentre que la probabilitat que estigui abonat en horari de matí, si sabem que utilitza el gimnàs, és de `0,45`. a) Quina és la probabilitat que l’individu estigui abonat en horari de matí? [1,25 punts] b) Si sabem que està abonat en horari de matí, quina és la probabilitat que utilitzi la zona de piscina? [1,25 punts] - (2024-setembre-3-6) Una empresa d’autobusos afirma que fa el trajecte entre l’aeroport i el centre de la ciutat en `30` minuts. Hem obtingut una mostra del temps, en minuts, que ha trigat en `10` trajectes escollits a l’atzar: a) Construïu un interval de confiança del `95 %` per a la mitjana del temps de trajecte, suposant que aquest temps segueix una distribució normal amb una desviació típica de `2` minuts. Nota: Recordeu que, si `Z `segueix una distribució normal `(0,1) ->P(-1,96<=z<=1,96)=0,95`. Recordeu també que l’interval de confiança per a la mitjana amb un nivell de confiança `gamma \in(0,1)` quan la variància `sigma^2` és coneguda és donat per . b) A partir del resultat obtingut en l’apartat anterior, podem afirmar que la informació que proporciona l’empresa d’autobusos és errònia? Justifiqueu la resposta. [1 punt] |