1-Un ordinador personal té operatius dos programes antivirus `A1` i `A2` que actuen simultŕniament i de forma independent. Davant la presčncia d'un virus, el programa `A1` el detecta amb una probabilitat de `0.9` i el programa `A2` el detecta amb una probabilitat de `0.8`. Calculeu de forma raonada: a) La probabilitat que un virus qualsevol sigui detectat. (1 punt) b) La probabilitat que un virus sigui detectat pel programa `A1` i no per`A2`. (0,75 punts) c) Si un virus ha estat detectat, quina és la probabilitat que l’hagi detectat l’antivirus `A_1`? (0,75 punts) `a_1)` En diem esdeveniment `A_1` a l'esdeveniment ser detectat per l'antivirus `A1` i esdeveniment `A_2` a l'esdeveniment ser detectat per l'antivirus `A2`. L'esdeveniment demanat ser detectat per l'antivirus `A1` o per l'antivirus `A2` és l'esdeveniment `A_1 \cup A_2`, o sigui la probabilitat demanada és: `P(A_1\cupA_2)=P(A_1)+P(A_2)-P(A_1\cap A_2)` Com que els esdeveniments són independents sabem que: `P(A_1\cap A_2)=P(A_1)·P(A_2)` Tot plegat implica que: `P(A_1 \cup A_2)=P(A_1)+P(A_2)-P(A_1)·P(A_2)=0,9+0,8-0,9·0,8 = 0,98` `a_2)` També ho podíem haver calculat calculant la probabilitat de l'esdeveniment contrari i restar-ho de `1`. L'esdeveniment contrari és que no el detecti cap antivirus i cmo són independents: `1-P(bar(A_1) \cap bar(A_2))=1-P(bar(A_1))·P(bar(A_2))=1-(1-0,9)·(1-0,8) = 0,98` `b_1)` La probabilitat de l'esdeveniment detectat per `A1` i no per `A2` és `P(A_1)-P(A_1 \cap A_2)`: `P(A_1)-P(A_1 \cap A_2)=P(A_1)-P(A_1)·P(A_2)=0,9-0,9·0,8 = 0,18` `b_2)` També es pot calcular: La probabilitat de l'esdeveniment detectat per `A1` i no per `A2` és `P(A_1 cap bar(A_2))=P(A_1)·(1-P(A_2))`: `P(A_1 cap bar(A_2))=P(A_1)·(1-P(A_2))=0,9·(1-0,8) = 0,18` `c_1)` `P(A_1|A_1\cupA_2)=(P(A_1 \cap (A_1 cup A_2)))/(P(A_1 cup A_2))=(P(A_1))/(P(A_1 cup A_2))=(0,9)/(0,98) = 0,918367` `c_2)` `P(A_1 |A_1 \cup A_2)=(P(A_1)·P(A_1 \cup A_2| A_1))/(P(A_1 \cup A_2))=(0,9·1)/(0,98) = 0,918367`