(2025-juny-1-4A) Al Congrés Català d’Educació Matemàtica (`C2EM`), que se celebrarà a Lleida el proper mes de juliol, hi assistiran docents d’universitat, d’educació secundària i d’educació infantil i primària.A hores d’ara, un `10 %` dels docents inscrits són d’universitat, un `50 %` són de secundària i la resta són d’infantil i primària. D’altra banda, un `40 %` dels docents inscrits d’universitat, un `52 %` dels docents inscrits de secundària i un `65 %` dels docents inscrits d’infantil i primària són dones.


OPCIÓ A

a) Calculeu la probabilitat que una persona escollida a l’atzar d’entre tots els inscrits sigui una dona. Si d’entre totes les dones inscrites n’escollim una a l’atzar, quina probabilitat hi ha que sigui docent de secundària?
[1,25 punts]

b) Calculeu el nombre de docents que s’han inscrit al Congrés de cada nivell educatiu si sabem que en total hi ha `476` dones inscrites.
[1,25 punts]


Solució:
    a1)

      Farem aquest exercici d'una manera no del tot convencional. Bé només saben que el que vol dir que un `10%` dels docents sigui de la universitat vol dir qu si en total hi ha `100` assistents, `10` són de la universitat i que la probabilitat de trobar un docent universitari és `p(U)=10/100=0,1`. Llavors contarem en cada cas quants professors tenim de cada tipus.

      Universitat `=10` Secundària `=50` Primària `=40` D'aquests contarem quants en tenim de cada sexe.

      dones|universitat `10*0,4 = 4` dones|secundària `50*0,52 = 26` dones|primària `40*0,65 = 26`

      homes|universitat `10*0,6 = 6` homes|secundària `50*0,48 = 24` homes|primària `40*0,35 = 14`


      Tot això serà més entenedor posant-ho en una taula:


      Universitat Secundària Primària Total
      dones 4 26 26 56
      homes 6 24 14 44
      total 10 50 40 100


      Si ho dividim tot per `100` tindrem les probabilitats:

      Universitat Secundària Primària Total
      dones 0,04 0,26 0,26 0,56
      homes 0,06 0,24 0,14 0,44
      total 0,10 0,50 0,40 1

      Amb això la probabilitat que sigui dona, `P(`dona`)=0,56`


    a2)

      I la probabilitat de ser de secundària entre els dones. Hi ha 26 dones de secundaria entre es 56 dones

      Entre les dones quina probabilitat hi ha que sigui de secundaria això es diu `P(`s`|`d`)`

      `P(`s`|`d`)``=26/56 = 0,464286`


    b)

      Si les dones son el `56%` i n'hi ha `476`, el total de docents inscrits serà `=(476*100)/56 = 850` i per calcular els de cada nivell:


      Universitat `=850*0,1 = 85`

      Secundària `=850*0,5 = 425`

      Primària `=850*0,4 = 340`



Solució més convencional per la a) (És la que hi ha a la resposta oficial):
    a1)

      `P(`dona`)= P(`dona`\cap`universitat`)+P(`dona`\cap`secundària`)+P(`dona`\cap`primària`)`


      `P(`d`)= P(`d`\cap`u`)+P(`d`\cap`s`)+P(`d`\cap`p`)`


      `P(`d`)= P(`u`)·P(`d`|`u`)+P(`s`)·P(`d`|`s`)+P(`p`)·P(`d`|`p`)`


      `P(`d`)= 0,10*0,40+0,50*0,52+0,40*0,65 = 0,56`



      Per ajudar a entendre-ho, pot ajudar el diagrama d'arbre (tret de la solució oficial)





    a2)

      `P(`s`|`d`)``= (P(s \cap d))/(p(d))=(0,26)/(0,56) = 0,464286`