4-Volem conèixer el percentatge de persones que parlen anglès en una població determinada. Prenem una mostra aleatòria de `500` persones de les quals resulta que `189` parlen anglès.
a) Doneu l’estimació puntual de la proporció i del percentatge de persones que parlen anglès en aquella població. (1 punt)
b) Escriviu un interval de confiança del `95%` per al percentatge de persones que parlen anglès en aquella població. (Recordeu que si `Z` segueix una distribució Normal `(0,1)` la `P(-1.96 <= Z <= 1.96) = 0.95)` (1.5 punts)
Fórmules per a resoldre l’exercici:
- `Z ~`normal `(0,1) ->P(-1,96<=z<=1,96)=0,95` i `P(-2,58<=Z<=2,58)=0,99`
- Intervals de confiança amb un nivell de confiança `gamma \in(0,1)`
`-`per a la proporció (mostres grans):
`[p-z_gamma \sqrt{(p(1-p))/n}` `,` `p+z_gamma \sqrt{(p(1-p))/n}]`
`-`per a la mitjana (mostres normals amb la variància `sigma^2` coneguda):
`[overline{x}-z_gamma (sigma)/\sqrt{n}` `,` `overline{x}+z_gamma (sigma)/\sqrt{n}]`
`-`per a la mitjana (mostres grans amb la variància `sigma^2` desconeguda):
`[overline{x}-z_gamma (s)/\sqrt{n}` `,` `overline{x}+z_gamma (s)/\sqrt{n}]`
a)
| `p=189/500 = 0,378 <=> 37,8%` | |
b)
Nosaltres hem de fer servir la primera, ja que tenim una proporció i la mostra és molt gran.
`[p-z_gamma \sqrt{(p(1-p))/n}` `,` `p+z_gamma \sqrt{(p(1-p))/n}]`
`p=0,378`, `n=500` i `z_gamma=1,96`
`[0,378-1,96 \sqrt{(0,378·(1-0,378))/500}` `,` `0,378+1,96 \sqrt{(0,378·(1-0,378))/500}]`
`[0,378-1,96 ·((0,378·(1-0,378))/500)^(0,5)` `,` `0,378+1,96·((0,378·(1-0,378))/500)^(0,5)]`
`[0'335498` `,` `0'420502]`
|