|
Exemples. Es poden resoldre amb el programa Gauss 1-S'assegura que el pes de les pomes d'un carregament és una variable amb distribució normal amb mitjana `250` i desviació estàndard `30` g. Calculeu la probabilitat que una poma escollida l' atzar pesi menys de `200` g.  2-El temps de vida d'un article es distribueix normalment amb una mitjana `1000` h i desviació estàndard `100 ` h. Doneu un temps de vida tal que el superin el `90%` dels articles.  3-Una màquina fabrica cargols el diàmetre dels quals es distribueix normalment amb mitjana `0.25` i desviació estàndard `0.008`. a) Es rebutgen els cargols amb un diàmetre que difereix de `0.25` en més de `0.01`. Quina és la proporció de cargols rebutjats?  b) Fixeu una nova norma de tolerància per tal que només es rebutgin el 10% dels cargols. 
4-La mitjana dels pesos dels pollastres que arriben a un escorxador és `mu = 1700` `g` i la desviació estàndard `sigma = 200 ` `g` . Suposem que la distribució dels pesos és normal. a) Quina proporció dels pollastres anteriors supera els `2` kg de pes?  b) Quina hauria de ser la mitjana dels pesos perquè el 90% de pollastres superés els 1500 si es mantenia la mateixa desviació estàndard?.  1-Utilitzeu l'aproximació normal de la distribució binomial per calcular aproximadament la probabilitat que menys de `50` persones contestin afirmativament una enquesta feta a `100` persones si se sap que el `60%` de la població està a favor del sí. Calculem la mitjana i la desviació típica d'una binomial `n=100` i `p=60/100=0,6`: 
Com ho faríem si només tinguessim la funció de distribució de Gauss tipificada `=> mu=0` i `sigma=1`? Llavors tipificaríem el valor `50` que vol dir a quantes desviacions típiques (`4,899`) està `50` de la mitjana, `60`. La fórmula per fer-ho és `k=(x-mu)/sigma` o sigui `k=(50-60)/(4,899) = -2,04123290467442` `2,04` desviacions típiques a l'esquerra de la mitjana i com ens han dit que volen saber la probabilitat per sota de `50`.  Que, evidentment, dona el mateix. Històricament es feia a mà amb la taula:  I fent servir la propietat de simetria. La probabilitat cercada, ja que nosaltres volem la de `-2,04`:
Ho recordem com a nota històrica, però, en principi, no ho tornarem a fer-ho així més. 2-Utilitzant l'aproximació normal a la distribució binomial, calculeu aproximadament la probabilitat d'obtenir més de `20` sisos en `100` llançaments d'un dau. Com abans cal calcular la mitjana i la desviació típica de la binomial. `n=100` Probabilitat de que surti un sis en un llançament d'un dau `p=1/6`. 
5-Tirem una moneda perfecta `900` vegades. Calculeu la probabilitat que el nombre de cares sigui més petit o igual que `465`. `n=900` `p=1/2=0,5` 
1-Abans de tirar una moneda perfecta `100` vegades volem estudiar l'interval de confiança `[50-L, 50+L]` del nombre de cares que raonablement sortiran. Calculeu `L`: a) En el cas d'admetre un risc `a = 5%`. b) En el cas d'admetre un risc `a = 3%`. c) En el cas d'admetre un risc `a = 1%`. a) L'exepriència aleatòria tirar `100` una moneda és un exercici de binomial, però quan hi ha moltes repeticions i la probabilita de tenir èxit `p=0,5` fer servir l'aproximació de la normal d'una binomial és molt aequat. Només cal calcular la mitjana i la desviació típica i fer el cálcul de l'àrea amb interval, si volem un risc del `5%` l'area de fora valgui `0,05` o bé si en lloc de risc parléssim d'interval de confiança, que l'àrea interior sigui del `0,95`. Contestarem al risc del `5%` que és com està plantejat el problema.  O sigui si apostem a que surtin entre `40` i `60` cares assumim un risc del `5%` Només un `5%`, `1` de cada `20` experiències de tirar una moneda `100` vegades sortiran menys de `40` cares o més de `60`. Aquí val la pena fer una reflexió. aquests `59,8` quantes desviacions típiques són: O sigui que sempre que estudiem una funció de distribució que segueixi una normal sl'interval amb una confianá del `95%` serà de `[-1,96,196]` desviacions típiques respecte la mitjana. O el que és equivalent, entre `[-1,96,196]` desviacions típiques respecte la mitjana assumim un risc del `5%` de no predir-ho bé. b) El cas d'un risc del `3%` correspon a:  L'interval amb una confiança del `97%` (o risc del `3%`) del nombre de cares que sortiran en tirar `100` monedes és de `[39,61]`. c) El cas d'un risc del `1%` correspon a:  És a dir a `2,58` desviacions típiques a banda i banda de la mitjana tenim una confiança del `99%` i un risc de l'`1%` 2-Abans de tirar una moneda perfecta `100` vegades fem les prediccions que el nombre de cares estarà entre: a) `[50-5, 50+5]` b) `[50-7, 50+7]` Calculeu els riscs o probabilitats que la predicció falli en el cas a) i en el cas b) respectivament. Comenteu els resultats. a) `[50-5, 50+5]=[45,55]` La mitjana i la desviació típica és la mateixa que l'exeriència aleatòria anterior.  El risc és d'un `31'7%` b) `[50-7, 50+7]=[43,57]`  El risc és d'un `16'1%` L'interval és més gran i el risc disminueix. No cal que l'interval sigui molt més gran per disminuir força el risc. 3-Una màquina fabrica peces amb una llargada que correspon a una llei normal de mitjana `150` `cm` i desviació típica `2` `cm`. Les peces, per ser acceptables, han de tenir una llargada compresa entre `150 - 3` `cm` i `150 + 3` `cm`. Quin és el risc o probabilitat que la màquina fabriqui peces no acceptables? La mitjana `mu=150` i la desviació típica `sigma=2` i l'interval de confianá `[147,153]` es pot dir que acceptem peces que marxin `z=(153-150)/2 = 1,5` desviacions tipiques de la mitjana.  El risc és del `13,4%` Caldrà desestimar unes `13` peces de cada `100` que fabriquem. 8-a) Si tirem un dau perfecte `5` vegades, calculeu la probabilitat que surti exactament una vegada el `6`. b) Tirem el dau `180` vegades i indiquem amb `N` el nombre de vegades que surt el `6`. 1.Calculeu la probabilitat que N sigui més gran o igual que 35. 2.Calculeu el valor `L` de l’interval de confiança `[30-L, 30+L]` que tingui un risc a= `5%` a) És un problema de binomial, `n=5`, `p=1/6` i `k=1` $$P(k)= {n \choose k}p^k·(1-p)^{n-k}$$ $$P(1)= {5 \choose 1}(1/6)^1·(5/6)^4=5·(1/6)^1·(5/6)^4 = 0,401878$$ `b_1` Com que tirem moltes vegades el dau farem servir l'aproximació a la normal de la binomial. 
`b_2` Com hem vist abans un risc del `5%` és una confiança del `95%` i correspon a `1,96` desviacions típiques a l'esquerra i a la dreta de la mitjana. O sigui.
L'interval seria `[30-9'8,30+9'8]=[20'2,39'8]` Que si ho representem amb el programa Distribució Normal:  |