5-Els envasos d'una marca determinada de iogurts indiquen que contenen de mitjana `150` grams de iogurt. Hem comprat deu iogurts, n'hem pesat el contingut i hem obtingut les dades següents (en grams):

`148, 149, 147, 146, 149, 146, 149, 148, 149, 149`
.

a) Construïu un interval de confiança del `95%` per a la mitjana del pes dels iogurts, suposant que el pes segueix una distribució normal amb una desviació típica de `3` grams. (Recordeu que si `Z` segueix una distribució Normal `(0,1)` la `P(-1.96 <= Z <= 1.96) = 0.95)` (1.5 punts)

b) A partir del resultat obtingut en l’apartat anterior podem afirmar que la informació que hi ha a l’etiqueta és errònia? Justifiqueu la resposta. (1 punt)

    Fórmules per a resoldre l’exercici:

  • `Z ~`normal `(0,1) ->P(-1,96<=z<=1,96)=0,95` i `P(-2,58<=Z<=2,58)=0,99`

  • Intervals de confiança amb un nivell de confiança `gamma \in(0,1)`
      `-`per a la proporció (mostres grans):

      `[p-z_gamma \sqrt{(p(1-p))/n}`   `,`   `p+z_gamma \sqrt{(p(1-p))/n}]`

      `-`per a la mitjana (mostres normals amb la variància `sigma^2` coneguda):

      `[overline{x}-z_gamma (sigma)/\sqrt{n}`   `,`   `overline{x}+z_gamma (sigma)/\sqrt{n}]`

      `-`per a la mitjana (mostres grans amb la variància `sigma^2` desconeguda):

      `[overline{x}-z_gamma (s)/\sqrt{n}`   `,`   `overline{x}+z_gamma (s)/\sqrt{n}]`

    a)

    Cal fer servir la segona fórmula. `[overline{x}-z_gamma (sigma)/\sqrt{n}`   `,`   `overline{x}+z_gamma (sigma)/\sqrt{n}]`


    on `bar(x)=150` i `sigma=3`. Com volem una confiança del `95% => z_gamma=1,96` i `n=10` dades .


    `[150-1,96· (3)/\sqrt{10}`   `,`   `150+1,96· (3)/\sqrt{10}]`


    `[148'1405`   `,`   `151'8594]`



    b)
      Calculem la mitjana de les nostres dades:


      `(148+149+147+146+149+146+149+148+149+149)/10 = 148`


      Sí que és errònia ja que la nostra mitjana no està dins l'interval de confiança del `95%`