6-Es vol saber la mitjana d’euros que es gasta setmanalment l’alumnat a la cafeteria de l’institut. S’ha seleccionat una mostra de `250` estudiants i se’ls ha demanat aquesta dada. En aquesta mostra hem obtingut una despesa mitjana de `5` euros, amb una desviació típica d’`1,5`. Per resoldre aquest problema recordeu que si `Z` segueix una distribució Normal `(0,1)` la `P(-1.96 <= Z <= 1.96) = 0.95)` i`P(-2,58 <= Z <= 2,58) = 0.99`.
a) Construïu un interval de confiança del 95% per a la mitjana d’euros que es gasta setmanalment l’alumnat a la cafeteria.
(1 punt)
b) Construïu un interval de confiança del `99%` per a la mitjana d’euros que es gasta setmanalment l’alumnat a la cafeteria.
(1 punt)
c) Expliqueu perquè els dos intervals anteriors són diferents i quina informació ens dona exactament cada un d’ells.
(0.5 punts)
Fórmules per a resoldre l’exercici:
- `Z ~`normal `(0,1) ->P(-1,96<=z<=1,96)=0,95` i `P(-2,58<=Z<=2,58)=0,99`
- Intervals de confiança amb un nivell de confiança `gamma \in(0,1)`
`-`per a la proporció (mostres grans):
`[p-z_gamma \sqrt{(p(1-p))/n}` `,` `p+z_gamma \sqrt{(p(1-p))/n}]`
`-`per a la mitjana (mostres normals amb la variància `sigma^2` coneguda):
`[overline{x}-z_gamma (sigma)/\sqrt{n}` `,` `overline{x}+z_gamma (sigma)/\sqrt{n}]`
`-`per a la mitjana (mostres grans amb la variància `sigma^2` desconeguda):
`[overline{x}-z_gamma (s)/\sqrt{n}` `,` `overline{x}+z_gamma (s)/\sqrt{n}]`
a)
Com que sabem la mitjana, `mu=5` i la desviació típica `sigma=1,5` de la mostra i desconeixem la `sigma^2` de la població, i com la mostra és gran `250 > 30` farem servir l'interval de confiança (recordem `z_gamma=1,96`:
`[overline{x}-z_gamma (s)/\sqrt{n}` `,` `overline{x}+z_gamma (s)/\sqrt{n}]`
`[5-1,96·(1,5)/\sqrt{250}` `,` `5+1,96·(1,5)/\sqrt{250}]`
b)
És el mateix que el cas anterior, però amb `z_gamma=2,58`
`[5-2,58·(1,5)/\sqrt{250}` `,` `5+2,58·(1,5)/\sqrt{250}]`
c)
El segon és més ampli perquè ens dona més confiança, un 99% en front del 95%.
En el primer cas, `[4'8141` `,` `5'1859]` vol dir que en un 95% dels casos que fem l'estudi amb mostres de 250 estudiants, la mitjana de despesa estarà entre aquests dos nombres.
En el segon cas, `[4'7552` `,` `5'2448]` vol dir que en un 99% dels casos que fem l'estudi amb mostres de 250 estudiants, la mitjana de despesa estarà entre aquests dos nombres. | |
|