Exercicis - Funcions de distribució discretes 1-Calcula la mitjana i la desviació típica de la distribució de probabilitat del resultat de tirar un dau. Els valors de la variable aleatòria són (les `x`): `{1,2,3,4,5,6}` I la funció de distribució `1/6` per a tots el valors de la variable aleatòria. `1 => f(1)=1/6` `2 => P(2)=1/6` `3 => P(3)=1/6` `4 => P(4)=1/6` `5 => P(5)=1/6` `6 => P(6)=1/6` Mitjana: `mu=\sum_{k=1}^n x_k·p_k` `mu= 1·1/6+2·1/6+3·1/6·4·1/6+5·1/6+6·1/6=(1+2+3+4+5+6)/6=21/6 = 3,5` Desviació típica: `sigma=\sqrt{\sum_{k=1}^n(x_k-mu)^2·p_k}` `sigma = \sqrt{(1-3,5)^2·1/6+(2-3,5)^2·1/6+(3-3,5)^2·1/6+(4-3,5)^2·1/6+(5-3,5)^2·1/6+(6-3,5)^2·1/6}=` `sigma = \sqrt{1/6·[(1-3,5)^2+(2-3,5)^2+(3-3,5)^2+(4-3,5)^2+(5-3,5)^2+(6-3,5)^2]}` `sigma = \sqrt{(17,5)/6}=1,707825` 2-Calcula la mitjana i la desviació típica de la distribució de probabilitat del resultat de la suma de fet de tirar dos daus. Definim els valors de la variabe aleatòria com la suma dels dos resultats, que pot anar de `1+1=2` fins a `6+6=12`, `{2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}` Poden sortir `6·6=36` resultats diferents `VR_6^2=6^2` i les probabilitats (valors d ela funció de distribució) són ,tenim em compte els casos que pot sortir `2 => (1,1) => P(2)=1/36` `3 => (1,2);(2,1) => P(3)=2/36` `4 => (1,3);(2,2);(3,1) => P(4)=3/36` `5 => (1,4);(2,3);(3,2);(4,1) => P(5)=4/36` `6 => (1,5);(2,4);(3,3);(4,2);(5,1) => P(6)=5/36` `7 => (1,6);(2,5);(3,4);(4,3);(5,2);(6,1) => P(7)=6/36` `8 => (2,6);(3,5);(4,4);(5,3);(6,2) => P(8)=5/36` `9 => (3,6);(4,5);(5,4);(6,3) => P(9)=4/36` `10 => (4,6);(5,5);(6,4) => P(10)=3/36` `11 => (5,6);(6,5) => P(11)=2/36` `12 => (6,6) => P(12)=1/36` Valors variable aleatòria, `x_k` Probabilitat, `P_k` `x_k·P_k` `x_k-mu=x_k-7` `(x_k-7)^2` `(x_k-7)^2·p_k` `2` `1/6` `0,06` `-5` `25` `0,69` `3` `2/6` `0,17` `-4` `16` `0,89` `4` `3/6` `0,33` `-3` `9` `0,75` `5` `4/6` `0,56` `-2` `4` `0,44` `6` `5/6` `0,83` `-1` `1` `0,14` `7` `6/6` `1,17` `0` `0` `0` `8` `5/6` `1,11` `1` `1` `0,14` `9` `4/6` `1` `2` `4` `0,44` `10` `3/6` `0,83` `3` `9` `0,75` `11` `2/6` `0,61` `4` `16` `0,89` `12` `1/6` `0,33` `5` `25` `0,69` Mitjana `mu=\sum_{k=1}^n x_k·p_k` `7` Desviació típica `sigma=\sqrt{\sum_{k=1}^n(x_k-mu)^2·p_k}` `2,42` 3-En una bossa hi ha boles numerades: `9` boles amb un u, `5` amb un dos i `6` amb un tres. Triem una bola i mirem quin número té. a) Quina és la distribució de probabilitat? b) Calcula la mitjana i la desviació típica. a) Total boles `9+5+6 = 20` `P(1)=9/20 = 0,45` `P(2)=5/20 = 0,25` `P(3)=6/20 = 0,3` b) Valors variable aleatòria, `x_k` Probabilitat, `P_k` `x_k·P_k` `x_k-mu=x_k-1,85` `(x_k-0,17)^2` `(x_k-0,17)^2·p_k` `1` `0,45` `1·0,45 = 0,45` `-0,85` `0,72` `0,33` `2` `0,25` `2·0,25 = 0,5` `0,15` `0,02` `0,01` `3` `0,30` `3·0,3 = 0,9` `1,15` `1,32` `0,4` Mitjana `mu=\sum_{k=1}^n x_k·p_k` `1,85` Desviació típica `sigma=\sqrt{\sum_{k=1}^n(x_k-mu)^2·p_k}` `0,85` 4-Treiem dues cartes d’una baralla i apuntem el número d’asos (`0`, `1` o `2`). a) Quina és la distribució de probabilitat? b) Calcula la mitjana i la desviació típica. a) Anem a calcular la probabilitat de que en treure `2` cartes surtin cap, un o dos asos. Això és un problema de binomial amb `n=2` i `p=4/48=1/12`. $$P(0)= {2 \choose 0}(1/12)^0·(11/12)^2=1·(1/12)^0·(11/12)^2 = 0,840278$$ $$P(1)= {2 \choose 1}(1/12)^1·(11/12)^1=2·(1/12)^1·(11/12)^1 = 0,152778$$ $$P(2)= {2 \choose 2}(1/12)^2·(11/12)^0=1·(1/12)^2·(11/12)^0 = 0,006944$$ Si ho sumem tot veiem que `0,840278+0,152778+0,006944 = 1` b) Valors variable aleatòria, `x_k` Probabilitat, `P_k` `x_k·P_k` `x_k-mu=x_k-0,17` `(x_k-0,17)^2` `(x_k-0,17)^2·p_k` `0` `0,840278` `0·0,840278 = 0` `-0,17` `0,03` `0,02` `1` `0,152778` `1·0,152778 = 0,152778` `0,83` `0,69` `0,11` `2` `0,006944` `2·0,006944 = 0,013888` `1,83` `3,36` `0,02` Mitjana `mu=\sum_{k=1}^n x_k·p_k` `0+0,152778+0,013888 = 0,17` Desviació típica `sigma=\sqrt{\sum_{k=1}^n(x_k-mu)^2·p_k}` `0,39` 7-(això és el primer exemple de la funció de distribució binomial que no deixa de ser una funció de distribució discreta) Una urna conté `3` boles vermelles i `7` verdes. Se’n treu una a l’atzar, s’apunta el color i es torna a introduir; si es realitza `5` vegades l’experiència. Calcula les probabilitats d’obtenir: a) Tres vermelles. b) Menys de tres vermelles. c) Més de tres vermelles d) Alguna vermella. a) $$P(3)= {5 \choose 3}0,3^3·0,7^2=10·0,3^3·0,7^2 = 0,1323$$ b) $$P(0)= {5 \choose 0}0,3^0·0,7^5=1·0,3^0·0,7^5 = 0,16807$$ $$P(1)= {5 \choose 1}0,3^1·0,7^4=5·0,3^1·0,7^4 = 0,36015$$ $$P(2)= {5 \choose 2}0,3^2·0,7^3=10·0,3^2·0,7^3 = 0,3087$$ `P(z<3)=0,16807+0,36015+0,3087 = 0,83692` c) `P(z>3)=1-P(z<=3)=1-(0,83692+0,1323) = 0,03078` d) `P(`alguna vermella`)=1-P(`cap vermella`)=1-0,16807 = 0,83193` No es demana, però pot ser ilustratiu: