(2025-juny-Tei-4-4B) Una fàbrica es dedica a elaborar pasta. Tot el procés de producció es pot resumir en tres etapes: 1. Compra de matèries primeres. Per a elaborar la pasta, l’empresa ha de comprar oli, farina i sal de bona qualitat. La compra la pot fer a tres proveïdors diferents. El primer proveïdor ven l’oli a `3` €/L, la farina a `0,6` €/kg i la sal a `1` €/kg. El segon proveïdor ven l’oli a `3,5` €/L, la farina a `1` €/kg i la sal a `0,7` €/kg. Finalment, el tercer proveïdor ven l’oli a `2,5` €/L, la farina a `0,8` €/kg i la sal a `0,9` €/kg. 2. Elaboració, empaquetament i control de qualitat. Es fabrica i s’envasa la pasta. Posteriorment, es comprova que la pasta estigui ben feta i envasada correctament, i es verifica que els paquets pesin `500` g de mitjana. 3. Venda. L’estratègia de venda i el preu dels paquets es determinen fent un estudi de mercat. OPCIÓ B a) L’empresa ha fet una gran comanda al primer proveïdor i s’ha gastat `1.320` €. Ha comprat el triple de farina que de sal. A més, la quantitat gastada en farina representa el `30 %` dels diners gastats en oli. Quina quantitat de cada producte ha comprat? [1,25 punts] Solució: Oli farina Sal P1 3 0,6 1 P2 2,5 1 0,7 P3 2,5 0,8 0,9 a) `x` litres d'oli, `y` kg de farina, `z` kg de sal `3x+0,6y+1z=1350` `y=3z` `0,6y=3x·0,3` `3x+0,6y+1z=1320` `y=3z` `0,6y=0,9x` `3x+0,6y+z=1320` `y=3z` `y=(0,9)/(0,6)x` `3x+0,6y+z=1320` `y=3z` `y=3/2x` `3x+0,6y+z=1320` `3/2x=3z` `y=3/2x` `3x+0,6y+z=1320` `z=x/2` `y=3/2x` Fem una substitució: `3x+0,6·3/2x+x/2=1320` `4,4x=1320` `x=1320/(4,4) = 300` `y=3/2x=3/2*300 = 450` `z=x/2=300/2 = 150` Ha comprat `300` litres d'oli, `450` kg de farina i `150` kg de sal b) En el control de qualitat, s’ha pres una mostra a l’atzar del pes en grams de 9 paquets de pasta i s’han obtingut els valors següents: 501, 506, 497, 495, 503, 491, 512, 505, 499. Construïu un interval de confiança del `95 %` per a la mitjana del pes del paquet de pasta, suposant que aquest pes segueix una distribució normal amb una desviació típica de `4` g. A partir d’aquestes dades, raoneu breument si podem afirmar que l’etiqueta que diu que els paquets són de `500` g és incorrecta. [1,25 punts] Fórmules per a resoldre l’exercici: `Z ~`normal `(0,1) ->P(-1,96<=z<=1,96)=0,95` i `P(-2,58<=Z<=2,58)=0,99` Intervals de confiança amb un nivell de confiança `gamma \in(0,1)` `-`per a la mitjana (mostres normals amb la variància `sigma^2` coneguda): `[overline{x}-z_gamma (sigma)/\sqrt{n}`   `,`   `overline{x}+z_gamma (sigma)/\sqrt{n}]` Calculem la mitjana `bar(x)= (501+506+497+495+503+491+512+505+499)/9 = 501` Tenim `bar(x)=501` `z_gamma=1,96` `sigma=4` `\sqrt{n}=3` `[501-1,96 ·4/3`   `,`   `501+1,96 ·4/3]` `[498'3866`   `,`   `503'6133]` Com que els paquets els etiquetem amb `500` grams, amb un marge de confiança del `95%` podem dir que estan ben etiquetats.