Exercicis - Binomial 5-Calcula la mitjana i la desviació típica del número de cares de la distribució de probabilitat del resultat de tirar `6` monedes. És un problema de binomial amb `p=0,5` i `n=6`. Recordem que per a una binomial la mitjana és `mu=n·p=6·0,5 = 3` i la desviació típica `sigma= \sqrt{n·p·(1-p)}=\sqrt{6·0,5·0,5}=1,224744` 6-Calcula la mitjana i la desviació típica del número de punxes de la distribució de probabilitat del resultat de tirar `8` xinxetes si la probabilitat de que caigui de punxa és `0’4`. Ho sigui la probabilitat de que no caigui de punxa és `0’6`. És un problema de binomial amb `p=0,4` i `n=8`. Recordem que per a una binomial la mitjana és `mu=n·p=8·0,4 = 3,2` i la desviació típica `sigma= \sqrt{n·p·(1-p)}=\sqrt{8·0,4·0,6}=1,385640` 7-Una urna conté `3` boles vermelles i `7` verdes. Se’n treu una a l’atzar, s’apunta el color i es torna a introduir; si es realitza `5` vegades l’experiència. Calcula les probabilitats d’obtenir: a) Tres vermelles. b) Menys de tres vermelles. c) Més de tres vermelles d) Alguna vermella. a) $$P(3)= {5 \choose 3}0,3^3·0,7^2=10·0,3^3·0,7^2 = 0,1323$$ b) $$P(0)= {5 \choose 0}0,3^0·0,7^5=1·0,3^0·0,7^5 = 0,16807$$ $$P(1)= {5 \choose 1}0,3^1·0,7^4=5·0,3^1·0,7^4 = 0,36015$$ $$P(2)= {5 \choose 2}0,3^2·0,7^3=10·0,3^2·0,7^3 = 0,3087$$ `P(z<3)=0,16807+0,36015+0,3087 = 0,83692` c) `P(z>3)=1-P(z<=3)=1-(0,83692+0,1323) = 0,03078` d) `P(`alguna vermella`)=1-P(`cap vermella`)=1-0,16807 = 0,83193` No es demana, però pot ser ilustratiu: 8-Un examen tipus test consta de `10` preguntes, cada una amb `4` respostes, només una d’elles és correcta. Un alumne contesta a l’atzar. Quina és la probabilitat de que contesti correctament més de `3` preguntes? Quina de què les contesti totes? Per saber la probabilitat de contestar és de `3` preguntes el que farem és calcular la probabilitat de que contesti, cap, `1`, `2`, o `3` preguntes de forma correcta i la suma dels resultats la restarem d'`1` i sortirà la probabilitat demanada. `n=10` i `p=1/4=0,25` $$P(0)= {10 \choose 0}0,25^0·0,75^10=0,056314$$ $$P(1)= {10 \choose 1}0,25^1·0,75^9=10·0,25^1·0,75^9 = 0,187712$$ $$P(2)= {10 \choose 2}0,25^2·0,75^8=45·0,25^2·0,75^8 = 0,281568$$ $$P(3)= {10 \choose 3}0,25^3·0,75^7=120·0,25^3·0,75^7 = 0,250282$$ `P(z>3)=1-(0,056314+0,187712+0,281568+0,250282) = 0,224124` La probabilitat de que les contesti totes vol dir que tingui `10` èxits. $$P(10)= {10 \choose 10}0,25^10·0,75^0 = 9,5367431640625E-7 \approx 0,000001$$ No es demana, però pot ser ilustratiu: 9-En un magatzem, el `20%` de les capses que s’entreguen d’un determinat producte són defectuoses (tenen el contingut defectuòs). a)Obrim dues capses; Quina és la probabilitat de que les dues siguin defectuoses? b)Obrim tres caixes; Quina és la probabilitat de que dues siguin defectuoses? c)Obrim `100` caixes; Quina és la probabilitat de que dues siguin defectuoses? a) $$P(k)= {2 \choose 2}0,2^2·0,8^0=0,04$$ b) $$P(k)= {3 \choose 2}0,2^2·0,8^1=3·0,2^2·0,8^1 = 0,096$$ b) $$P(k)= {100 \choose 2}0,2^2·0,8^{98}=\frac{100·99}{2·1}·0,2^2·0,8^{98}=6,30208005178485E-8 \approx 0$$ 10-En le magatzem anterior, quantes de les `100` capses, són defectuoses per terme mitjà? Quina és la desviació típica? És un problema de binomial amb `p=0,2` i `n=100`. Recordem que per a una binomial la mitjana és `mu=n·p=100·0,2 = 20` i la desviació típica `sigma= \sqrt{n·p·(1-p)}=\sqrt{100·0,2·0,8}=4` 11-Quina és la probabilitat d’obtenir `5` cares tirant `11` vegades una moneda? Calcula la mitjana i la desviació típica del número de cares de la distribució de probabilitat del resultat de tirar `11` monedes. $$P(k)= {11 \choose 5}0,5^5·0,5^6=\frac{11·10·9·8·7}{5·4·3·2·1}·0,5^{11}=0,225586$$ És un problema de binomial amb `p=0,5` i `n=11`. Recordem que per a una binomial la mitjana és `mu=n·p=11·0,5 = 5,5` i la desviació típica `sigma= \sqrt{n·p·(1-p)}=\sqrt{11·0,5·0,5}=1,658312` 12-Si la probabilitat de què un cert model de secador de cabell sigui defectuòs és del 5%. Quants n’hi haurà de defectuosos per terme mitjà, en un lot de 1000 secadors? Quina és la desviació típica? És un problema de binomial amb `p=0,05` i `n=1000`. Recordem que per a una binomial la mitjana és `mu=n·p=1000·0,05 = 50` i la desviació típica `sigma= \sqrt{n·p·(1-p)}=\sqrt{1000·0,05·0,95}=6,892024` 13-En un test de `100` preguntes amb quatre opcions de resposta, de les quals cal seleccionar-ne una. Si es respon totalment a l’atzar, quin és el número mitjà esperat de respostes correctes? Quina és la desviació típica? És un problema de binomial amb `p=0,25` ja que la probabilitat d'encert és `1/4`, de `4` respostes una és correcta on `n=100`. Recordem que per a una binomial la mitjana és `mu=n·p=100·0,25 = 25` i la desviació típica `sigma= \sqrt{n·p·(1-p)}=\sqrt{100·0,25·0,75}=4,330127` 14-En un procés de fabricació de cargols se sap que el `2%` són defectuosos. Els empaquetem en capses de `50` cargols. calcula la probabilitat de que en una caixa: a) no hi hagi cap cargol defectuòs. b) hi hagi exactament un cargol defectuòs. c) hi hagi més de dos cargols defectuosos. a) És un problema de binomial on `p=0,02` i `n=50` `k=0` $$P(0)= {50 \choose 0}0,02^0·0,98^{50}=0,36417$$ b) El d'avans amk `k=1` $$P(0)= {50 \choose 1}0,02^1·0,98^{49}=50·0,02^1·0,98^{49}=0,371602$$ c) Calculem el de `k=2` o sumem amb els dos anteriors i o restem d'`1` $$P(0)= {50 \choose 2}0,02^2·0,98^{48}=\frac{50·49}{2·1}·0,02^2·0,98^{48}=0,185801$$ La probabilitat de que hi hagi més de dos cargaols defectuosos és: `1-(0,36417+0,371602+0,185801) = 0,078427` Per ajudar a entendre aquest exercici podeu fer servir: Binomial