Exercicis - Funcions de distribució discretes - Binomial 1-Calcula la mitjana i la desviació típica de la distribució de probabilitat del resultat de tirar un dau. Els valors de la variable aleatòria són (les `x`): `{1,2,3,4,5,6}` I la funció de distribució `1/6` per a tots el valors de la variable aleatòria. `1 => f(1)=1/6` `2 => P(2)=1/6` `3 => P(3)=1/6` `4 => P(4)=1/6` `5 => P(5)=1/6` `6 => P(6)=1/6` Mitjana: `mu=\sum_{k=1}^n x_k·p_k` `mu= 1·1/6+2·1/6+3·1/6·4·1/6+5·1/6+6·1/6=(1+2+3+4+5+6)/6=21/6 = 3,5` Desviació típica: `sigma=\sqrt{\sum_{k=1}^n(x_k-mu)^2·p_k}` `sigma = \sqrt{(1-3,5)^2·1/6+(2-3,5)^2·1/6+(3-3,5)^2·1/6+(4-3,5)^2·1/6+(5-3,5)^2·1/6+(6-3,5)^2·1/6}=` `sigma = \sqrt{1/6·[(1-3,5)^2+(2-3,5)^2+(3-3,5)^2+(4-3,5)^2+(5-3,5)^2+(6-3,5)^2]}` `sigma = \sqrt{(17,5)/6}=1,707825` 2-Calcula la mitjana i la desviació típica de la distribució de probabilitat del resultat de la suma de fet de tirar dos daus. Definim els valors de la variabe aleatòria com la suma dels dos resultats, que pot anar de `1+1=2` fins a `6+6=12`, `{2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}` Poden sortir `6·6=36` resultats diferents `VR_6^2=6^2` i les probabilitats (valors d ela funció de distribució) són ,tenim em compte els casos que pot sortir `2 => (1,1) => P(2)=1/36` `3 => (1,2);(2,1) => P(3)=2/36` `4 => (1,3);(2,2);(3,1) => P(4)=3/36` `5 => (1,4);(2,3);(3,2);(4,1) => P(5)=4/36` `6 => (1,5);(2,4);(3,3);(4,2);(5,1) => P(6)=5/36` `7 => (1,6);(2,5);(3,4);(4,3);(5,2);(6,1) => P(7)=6/36` `8 => (2,6);(3,5);(4,4);(5,3);(6,2) => P(8)=5/36` `9 => (3,6);(4,5);(5,4);(6,3) => P(9)=4/36` `10 => (4,6);(5,5);(6,4) => P(10)=3/36` `11 => (5,6);(6,5) => P(11)=2/36` `12 => (6,6) => P(12)=1/36` Valors variable aleatòria, `x_k` Probabilitat, `P_k` `x_k·P_k` `x_k-mu=x_k-7` `(x_k-7)^2` `(x_k-7)^2·p_k` `2` `1/6` `0,06` `-5` `25` `0,69` `3` `2/6` `0,17` `-4` `16` `0,89` `4` `3/6` `0,33` `-3` `9` `0,75` `5` `4/6` `0,56` `-2` `4` `0,44` `6` `5/6` `0,83` `-1` `1` `0,14` `7` `6/6` `1,17` `0` `0` `0` `8` `5/6` `1,11` `1` `1` `0,14` `9` `4/6` `1` `2` `4` `0,44` `10` `3/6` `0,83` `3` `9` `0,75` `11` `2/6` `0,61` `4` `16` `0,89` `12` `1/6` `0,33` `5` `25` `0,69` Mitjana `mu=\sum_{k=1}^n x_k·p_k` `7` Desviació típica `sigma=\sqrt{\sum_{k=1}^n(x_k-mu)^2·p_k}` `2,42` 3-En una bossa hi ha boles numerades: `9` boles amb un u, `5` amb un dos i `6` amb un tres. Triem una bola i mirem quin número té. a) Quina és la distribució de probabilitat? b) Calcula la mitjana i la desviació típica. a) Total boles `9+5+6 = 20` `P(1)=9/20 = 0,45` `P(2)=5/20 = 0,25` `P(3)=6/20 = 0,3` b) Valors variable aleatòria, `x_k` Probabilitat, `P_k` `x_k·P_k` `x_k-mu=x_k-1,85` `(x_k-0,17)^2` `(x_k-0,17)^2·p_k` `1` `0,45` `1·0,45 = 0,45` `-0,85` `0,72` `0,33` `2` `0,25` `2·0,25 = 0,5` `0,15` `0,02` `0,01` `3` `0,30` `3·0,3 = 0,9` `1,15` `1,32` `0,4` Mitjana `mu=\sum_{k=1}^n x_k·p_k` `1,85` Desviació típica `sigma=\sqrt{\sum_{k=1}^n(x_k-mu)^2·p_k}` `0,85` 4-Treiem dues cartes d’una baralla i apuntem el número d’asos (`0`, `1` o `2`). a) Quina és la distribució de probabilitat? b) Calcula la mitjana i la desviació típica. a) Anem a calcular la probabilitat de que en treure `2` cartes surtin cap, un o dos asos. Això és un problema de binomial amb `n=2` i `p=4/48=1/12`. $$P(0)= {2 \choose 0}(1/12)^0·(11/12)^2=1·(1/12)^0·(11/12)^2 = 0,840278$$ $$P(1)= {2 \choose 1}(1/12)^1·(11/12)^1=2·(1/12)^1·(11/12)^1 = 0,152778$$ $$P(2)= {2 \choose 2}(1/12)^2·(11/12)^0=1·(1/12)^2·(11/12)^0 = 0,006944$$ Si ho sumem tot veiem que `0,840278+0,152778+0,006944 = 1` b) Valors variable aleatòria, `x_k` Probabilitat, `P_k` `x_k·P_k` `x_k-mu=x_k-0,17` `(x_k-0,17)^2` `(x_k-0,17)^2·p_k` `0` `0,840278` `0·0,840278 = 0` `-0,17` `0,03` `0,02` `1` `0,152778` `1·0,152778 = 0,152778` `0,83` `0,69` `0,11` `2` `0,006944` `2·0,006944 = 0,013888` `1,83` `3,36` `0,02` Mitjana `mu=\sum_{k=1}^n x_k·p_k` `0+0,152778+0,013888 = 0,17` Desviació típica `sigma=\sqrt{\sum_{k=1}^n(x_k-mu)^2·p_k}` `0,39` 5-Calcula la mitjana i la desviació típica del número de cares de la distribució de probabilitat del resultat de tirar `6` monedes. És un problema de binomial amb `p=0,5` i `n=6`. Recordem que per a una binomial la mitjana és `mu=n·p=6·0,5 = 3` i la desviació típica `sigma= \sqrt{n·p·(1-p)}=\sqrt{6·0,5·0,5}=1,224744` 6-Calcula la mitjana i la desviació típica del número de punxes de la distribució de probabilitat del resultat de tirar `8` xinxetes si la probabilitat de que caigui de punxa és `0’4`. Ho sigui la probabilitat de que no caigui de punxa és `0’6`. És un problema de binomial amb `p=0,4` i `n=8`. Recordem que per a una binomial la mitjana és `mu=n·p=8·0,4 = 3,2` i la desviació típica `sigma= \sqrt{n·p·(1-p)}=\sqrt{8·0,4·0,6}=1,385640` 7-Una urna conté `3` boles vermelles i `7` verdes. Se’n treu una a l’atzar, s’apunta el color i es torna a introduir; si es realitza `5` vegades l’experiència. Calcula les probabilitats d’obtenir: a) Tres vermelles. b) Menys de tres vermelles. c) Més de tres vermelles d) Alguna vermella. a) $$P(3)= {5 \choose 3}0,3^3·0,7^2=10·0,3^3·0,7^2 = 0,1323$$ b) $$P(0)= {5 \choose 0}0,3^0·0,7^5=1·0,3^0·0,7^5 = 0,16807$$ $$P(1)= {5 \choose 1}0,3^1·0,7^4=5·0,3^1·0,7^4 = 0,36015$$ $$P(2)= {5 \choose 2}0,3^2·0,7^3=10·0,3^2·0,7^3 = 0,3087$$ `P(z<3)=0,16807+0,36015+0,3087 = 0,83692` c) `P(z>3)=1-P(z<=3)=1-(0,83692+0,1323) = 0,03078` d) `P(`alguna vermella`)=1-P(`cap vermella`)=1-0,16807 = 0,83193` No es demana, però pot ser ilustratiu: 8-Un examen tipus test consta de `10` preguntes, cada una amb `4` respostes, només una d’elles és correcta. Un alumne contesta a l’atzar. Quina és la probabilitat de que contesti correctament més de `3` preguntes? Quina de què les contesti totes? Per saber la probabilitat de contestar és de `3` preguntes el que farem és calcular la probabilitat de que contesti, cap, `1`, `2`, o `3` preguntes de forma correcta i la suma dels resultats la restarem d'`1` i sortirà la probabilitat demanada. `n=10` i `p=1/4=0,25` $$P(0)= {10 \choose 0}0,25^0·0,75^10=0,056314$$ $$P(1)= {10 \choose 1}0,25^1·0,75^9=10·0,25^1·0,75^9 = 0,187712$$ $$P(2)= {10 \choose 2}0,25^2·0,75^8=45·0,25^2·0,75^8 = 0,281568$$ $$P(3)= {10 \choose 3}0,25^3·0,75^7=120·0,25^3·0,75^7 = 0,250282$$ `P(z>3)=1-(0,056314+0,187712+0,281568+0,250282) = 0,224124` La probabilitat de que les contesti totes vol dir que tingui `10` èxits. $$P(10)= {10 \choose 10}0,25^10·0,75^0 = 9,5367431640625E-7 \approx 0,000001$$ No es demana, però pot ser ilustratiu: 9-En un magatzem, el `20%` de les capses que s’entreguen d’un determinat producte són defectuoses (tenen el contingut defectuòs). a)Obrim dues capses; Quina és la probabilitat de que les dues siguin defectuoses? b)Obrim tres caixes; Quina és la probabilitat de que dues siguin defectuoses? c)Obrim `100` caixes; Quina és la probabilitat de que dues siguin defectuoses? a) $$P(k)= {2 \choose 2}0,2^2·0,8^0=0,04$$ b) $$P(k)= {3 \choose 2}0,2^2·0,8^1=3·0,2^2·0,8^1 = 0,096$$ b) $$P(k)= {100 \choose 2}0,2^2·0,8^{98}=\frac{100·99}{2·1}·0,2^2·0,8^{98}=6,30208005178485E-8 \approx 0$$ 10-En le magatzem anterior, quantes de les `100` capses, són defectuoses per terme mitjà? Quina és la desviació típica? És un problema de binomial amb `p=0,2` i `n=100`. Recordem que per a una binomial la mitjana és `mu=n·p=100·0,2 = 20` i la desviació típica `sigma= \sqrt{n·p·(1-p)}=\sqrt{100·0,2·0,8}=4` 11-Quina és la probabilitat d’obtenir `5` cares tirant `11` vegades una moneda? Calcula la mitjana i la desviació típica del número de cares de la distribució de probabilitat del resultat de tirar `11` monedes. $$P(k)= {11 \choose 5}0,5^5·0,5^6=\frac{11·10·9·8·7}{5·4·3·2·1}·0,5^{11}=0,225586$$ És un problema de binomial amb `p=0,5` i `n=11`. Recordem que per a una binomial la mitjana és `mu=n·p=11·0,5 = 5,5` i la desviació típica `sigma= \sqrt{n·p·(1-p)}=\sqrt{11·0,5·0,5}=1,658312` 12-Si la probabilitat de què un cert model de secador de cabell sigui defectuòs és del 5%. Quants n’hi haurà de defectuosos per terme mitjà, en un lot de 1000 secadors? Quina és la desviació típica? És un problema de binomial amb `p=0,05` i `n=1000`. Recordem que per a una binomial la mitjana és `mu=n·p=1000·0,05 = 50` i la desviació típica `sigma= \sqrt{n·p·(1-p)}=\sqrt{1000·0,05·0,95}=6,892024` 13-En un test de `100` preguntes amb quatre opcions de resposta, de les quals cal seleccionar-ne una. Si es respon totalment a l’atzar, quin és el número mitjà esperat de respostes correctes? Quina és la desviació típica? És un problema de binomial amb `p=0,25` ja que la probabilitat d'encert és `1/4`, de `4` respostes una és correcta on `n=100`. Recordem que per a una binomial la mitjana és `mu=n·p=100·0,25 = 25` i la desviació típica `sigma= \sqrt{n·p·(1-p)}=\sqrt{100·0,25·0,75}=4,330127` 14-En un procés de fabricació de cargols se sap que el `2%` són defectuosos. Els empaquetem en capses de `50` cargols. calcula la probabilitat de que en una caixa: a) no hi hagi cap cargol defectuòs. b) hi hagi exactament un cargol defectuòs. c) hi hagi més de dos cargols defectuosos. a) És un problema de binomial on `p=0,02` i `n=50` `k=0` $$P(0)= {50 \choose 0}0,02^0·0,98^{50}=0,36417$$ b) El d'avans amk `k=1` $$P(0)= {50 \choose 1}0,02^1·0,98^{49}=50·0,02^1·0,98^{49}=0,371602$$ c) Calculem el de `k=2` o sumem amb els dos anteriors i o restem d'`1` $$P(0)= {50 \choose 2}0,02^2·0,98^{48}=\frac{50·49}{2·1}·0,02^2·0,98^{48}=0,185801$$ La probabilitat de que hi hagi més de dos cargaols defectuosos és: `1-(0,36417+0,371602+0,185801) = 0,078427` Per ajudar a entendre aquest exercici podeu fer servir: Binomial