4'-Volem conèixer el percentatge de persones que voten a en Laporta en les elcccions a president del Barça 2026. El resultat del sondeig ha estat el producte de `5762` entrevistes a peu d'urna, de les quals resulta que `3837` voten a en Laporta. Font. a) Doneu l’estimació puntual de la proporció i del percentatge de persones que voten a en Laporta en la població formada pels socis del Barça que van anar a votar. (1 punt) b) Escriviu un interval de confiança del `95%` per al percentatge de persones que voten a en Laporta entre els socis del Barça que van anar a votar. (Recordeu que si `Z` segueix una distribució Normal `(0,1)` la `P(-1.96 <= Z <= 1.96) = 0.95)` (1.5 punts) c) Si el resultat real de les eleccions va ser que van votar el `68,1%` an en Joan Laporta. Que n'opineu del sondeig? Font. Fórmules per a resoldre l’exercici: `Z ~`normal `(0,1) ->P(-1,96<=z<=1,96)=0,95` i `P(-2,58<=Z<=2,58)=0,99` Intervals de confiança amb un nivell de confiança `gamma \in(0,1)` `-`per a la proporció (mostres grans): `[p-z_gamma \sqrt{(p(1-p))/n}`   `,`   `p+z_gamma \sqrt{(p(1-p))/n}]` `-`per a la mitjana (mostres normals amb la variància `sigma^2` coneguda): `[overline{x}-z_gamma (sigma)/\sqrt{n}`   `,`   `overline{x}+z_gamma (sigma)/\sqrt{n}]` `-`per a la mitjana (mostres grans amb la variància `sigma^2` desconeguda): `[overline{x}-z_gamma (s)/\sqrt{n}`   `,`   `overline{x}+z_gamma (s)/\sqrt{n}]` a) `p=3837/5762 = 0,665915 <=> 66,6%` b) Nosaltres hem de fer servir la primera, ja que tenim una proporció i la mostra és molt gran. `[p-z_gamma \sqrt{(p(1-p))/n}`   `,`   `p+z_gamma \sqrt{(p(1-p))/n}]` `p=0,666`, `n=5762` i `z_gamma=1,96` `[0,666-1,96 \sqrt{(0,666·(1-0,666))/5762}`   `,`   `0,666+1,96 \sqrt{(0,666·(1-0,666))/5762}]` `[0,666-1,96 ·((0,666·(1-0,666))/5762)^(0,5)`   `,`   `0,666+1,96·((0,666·(1-0,666))/5762)^(0,5)]` `[0,653822`   `,`   `0,678178]` `[65'38%,67'82%]` c) `68'1% \notin [65'38%,67'82%]`