(2025-juny-Tei-4-2) Una empresa fabrica bicicletes convencionals i elèctriques. El responsable de qualitat de l’empresa ha mirat l’historial de vendes i ha calculat que el `5 %` de les bicicletes convencionals havien tingut algun tipus de problema que n’havia requerit una revisió postvenda. En el cas de les bicicletes elèctriques, aquest percentatge era del `15 %`. Actualment, el `25 %` de la producció és de bicicletes convencionals i el `75 %`, de bicicletes elèctriques a) Si escollim una bicicleta a l’atzar, quina és la probabilitat que tingui algun tipus de problema que requereixi una revisió postvenda? Si la bicicleta escollida a l’atzar presenta algun tipus de problema que requereixi una revisió postvenda, quina és la probabilitat que sigui elèctrica? [1,25 punts] b) El responsable de qualitat creu que la dada segons la qual un `15 %` de bicicletes elèctriques tenen algun problema que requereix el servei postvenda ha quedat desfasada. Considera que actualment tant la tecnologia com els controls de qualitat previs han millorat molt i aquesta proporció ha disminuït. Per a comprovar-ho, pren una mostra de `100` bicicletes elèctriques que ha venut en els darrers mesos i observa que només `8` han requerit una revisió postvenda. A partir d’aquestes dades, trobeu un interval de confiança del `95 %` per a la proporció de bicicletes elèctriques que tenen algun problema i requereixen una revisió postvenda. A partir del resultat obtingut, podem afirmar que aquesta proporció ha disminuït? [1,25 punts] Fórmules per a resoldre l’exercici: `Z ~`normal `(0,1) ->P(-1,96<=z<=1,96)=0,95` i `P(-2,58<=Z<=2,58)=0,99` Intervals de confiança amb un nivell de confiança `gamma \in(0,1)` `-`per a la proporció (mostres grans): `[p-z_gamma \sqrt{(p(1-p))/n}`   `,`   `p+z_gamma \sqrt{(p(1-p))/n}]` `-`per a la mitjana (mostres normals amb la variància `sigma^2` coneguda): `[overline{x}-z_gamma (sigma)/\sqrt{n}`   `,`   `overline{x}+z_gamma (sigma)/\sqrt{n}]` `-`per a la mitjana (mostres grans amb la variància `sigma^2` desconeguda): `[overline{x}-z_gamma (s)/\sqrt{n}`   `,`   `overline{x}+z_gamma (s)/\sqrt{n}]` Solució: a) `D` en direm l'esdeveniment defectuós. `C` esdeveniment bici convencional i `E` esdeveniment bici elèctrica. `P(D|C)=0,05` `P(C)=0,25 <` `P(bar(D)|C)= 0,95` `<` `P(D|E)=0,15` `P(E)= 0,75 <` `P(\bar(D)|E)=0,85` `a_1)` `P(D)=P(D\cap C)+ P(D\capE) = P(C)·P(D|C)+P(E)·P(D|E)` `P(D)=0,25*0,05+0,75*0,15 = 0,125` `a_2)` `P(E|D)=(P(E)·P(D|E))/(P(D))=(0,75*0,15)/(0,125) = 0,9` b) Fem servir: `[p-z_gamma \sqrt{(p(1-p))/n}`   `,`   `p+z_gamma \sqrt{(p(1-p))/n}]` On `p=0,08`, `n=100` i `z_gamma=1,96` ja que volem un interval de confiança del `0,95` `[0,08-1,96 \sqrt{(0,08·0,92)/100}`   `,`   `0,08+1,96 \sqrt{(0,08·0,92)/100}]` `[0,08-1,96 \sqrt{0,000736}`   `,`   `0,08+1,96 \sqrt{0,000736}]` `[0,08-1,96· 0,000736(^0,5)`   `,`   `0,08+1,96· 0,000736^(0,5)]` `[0'026827`   `,`   `0'133173]` Com `0,15` està fora de l'interval de confiança del `95%`, podem afirmar que amb una confiança del `95%` sí que ha millorat la proporció de bicicletes que no requereixen servei tècnic postvenda. L'interval amb un `95%` de confiança està entre, `[2'6%`   `,`   `13'3%]` de bicicletes que requereixen servei tècnid postvenda.