(2025-juny-1-3) Fa uns anys una granja de vaques frisones dedicada a la producció de llet va fer un estudi sobre el pes de les seves vaques i va arribar a la conclusió que aquesta variable seguia una distribució normal amb una mitjana de `580` kg i una desviació típica de `25` kg. Fórmules per a resoldre l’exercici: `Z ~`normal `(0,1) ->P(-1,96<=z<=1,96)=0,95` i `P(-2,58<=Z<=2,58)=0,99` Intervals de confiança amb un nivell de confiança `gamma \in(0,1)` `-`per a la proporció (mostres grans): `[p-z_gamma \sqrt{(p(1-p))/n}`   `,`   `p+z_gamma \sqrt{(p(1-p))/n}]` `-`per a la mitjana (mostres normals amb la variància `sigma^2` coneguda): `[overline{x}-z_gamma (sigma)/\sqrt{n}`   `,`   `overline{x}+z_gamma (sigma)/\sqrt{n}]` `-`per a la mitjana (mostres grans amb la variància `sigma^2` desconeguda): `[overline{x}-z_gamma (s)/\sqrt{n}`   `,`   `overline{x}+z_gamma (s)/\sqrt{n}]` a) Calculeu, de manera raonada, la probabilitat que si agafem a l’atzar una vaca frisona d’aquesta granja, el seu pes estigui entre `531` i `629` kg. [1 punt] b) Creiem que un canvi en el tipus de farratge que es dona a les vaques n’ha modificat la mitjana del pes. Per a comprovar-ho, hem obtingut el pes d’una mostra de `10` vaques de la granja escollides a l’atzar: 569, 575, 611, 581, 583, 614, 589, 555, 566, 571. Trobeu un interval de confiança del `95 %` per a la mitjana del pes de les vaques, suposant que aquest pes segueix una distribució normal amb una desviació típica de `25` kg. A partir del resultat obtingut, podem afirmar que la mitjana del pes de les vaques ha canviat? Justifiqueu la resposta. [1,5 punts] Solució: a) La probabilitat de què el pes estigui entre `p(531<=x<=629)` la podem calcular modelitzant a una distribució normal calculant a quuantes desviacions típiques de la mitjana estan els dos valors. `z=(x-M)/sigma` `Z_(min)=(531-580)/25 = -1,96` `Z_(man)=(629-580)/25 = 1,96` `p(531<=x<=629)=p(-1,96<=Z<=1,96)=0,95` Segons diu l'ennunciat del problema. O sigui, el `95%` de les vaques d'aquesta explotació pesen entre `531` i `629` kg. b) En primer lloc calculem la mitjana de pes de les `10` vaques: `(569+575+611+581+583+614+589+555+566+571)/10 = 581,4` Farem servir: `-`per a la mitjana (mostres normals amb la variància `sigma^2` coneguda): `[overline{x}-z_gamma (sigma)/\sqrt{n}`   `,`   `overline{x}+z_gamma (sigma)/\sqrt{n}]` La mitjana és `\overline{x}=581,4` `Z_gamma=1,96` ja que volem tenir un interval de confiança de `0,95`. La `sigma=25` ens la donen i el número de dades de la mostra `n=10` `overline{x}-z_gamma (sigma)/\sqrt{n}= 581,4-1,96·25/\sqrt{10}= 565,9048` `overline{x}+z_gamma (sigma)/\sqrt{n}= 581,4+1,96·25/\sqrt{10}= 596,8951` L'interval de confiamça demanat és: `[565'9048,596'8951]` Com que la mitjana trobada està dins l'interval no podem afirmar amb un `95%` de confiança que la mitjana no ha canviat ja que `580` està dins l'interval.