(2025-set-3-3) En un parc natural, els visitants hi poden accedir en cotxe, en bicicleta o a peu. Un cop dins del parc, els visitants poden fer una ruta guiada o bé visitar-lo pel seu compte. a) Sabem que el `60 %` dels visitants hi accedeixen en cotxe, el `15 %` en bicicleta i el `25 %` restant a peu. També sabem que dels que hi arriben en cotxe el `80 %` fan la ruta guiada, mentre que dels que hi arriben en bicicleta la fan el `60 %` i dels que hi arriben a peu només la fan el `30 %`. Si escollim un visitant a l’atzar, quina és la probabilitat que faci la ruta guiada? Si sabem que ha fet la ruta guiada, quina és la probabilitat que hagi accedit al parc en cotxe? [1,25 punts] b) Volem fer un estudi del temps que passen de mitjana els visitants dins del parc. Hem preguntat a `100` visitants quanta estona han estat dins del parc i hem obtingut una mitjana de `231` minuts amb una desviació típica de `32` minuts. Construïu un interval de confiança del `95 %` per al temps mitjà que passen els visitants dins del parc. [1,25 punts] Fórmules per a resoldre l’exercici: `Z ~`normal `(0,1) ->P(-1,96<=z<=1,96)=0,95` i `P(-2,58<=Z<=2,58)=0,99` Intervals de confiança amb un nivell de confiança `gamma \in(0,1)` `-`per a la proporció (mostres grans): `[p-z_gamma \sqrt{(p(1-p))/n}`   `,`   `p+z_gamma \sqrt{(p(1-p))/n}]` `-`per a la mitjana (mostres normals amb la variància `sigma^2` coneguda): `[overline{x}-z_gamma (sigma)/\sqrt{n}`   `,`   `overline{x}+z_gamma (sigma)/\sqrt{n}]` `-`per a la mitjana (mostres grans amb la variància `sigma^2` desconeguda): `[overline{x}-z_gamma (s)/\sqrt{n}`   `,`   `overline{x}+z_gamma (s)/\sqrt{n}]` Solució: a) Direm `G` a l'esdeveniment fer ruta guiada i `\overline{G}` a l'esdeveniment contrari. Direm `C` a l'esdeveniment venir en cotxe. `B` venir amb bici i `E` venir a peu (no en diem `P` per no confondre amb la probabilitat. El que ens demanenn és `P(G)` `P(G)=P(G \cap C)+ P(G \cap B)+ P(G \cap E)` `P(G)=P(C)·P(G | C)+ P(B)·P(G | B)+ P(E)·P(G | E)` `P(G)=0,6*0,8+0,15*0,6+0,25*0,3 = 0,645` `P(C|G)=(P(C)·P(G|C))/(P(G))=(0,60*0,8)/(0,645) = 0,744186` b) La mida de la mostra és `100` es considera gran, per la qual cosa hem de fer servir la tercera fórmula, `[overline{x}-z_gamma (s)/\sqrt{n}`   `,`   `overline{x}+z_gamma (s)/\sqrt{n}]` saben que, `\overline{x}=231`, `s=32`, `n=100` i `z_gamma=1,96`. `[231-1,96 32/\sqrt{100}`   `,`   `231+1,96· 32/\sqrt{100}]` `[231-1,96·32/10`   `,`   `231+1,96· 32/10]` `[224'728`   `,`   `237'272]` Amb una confiança del `95%` el temps mitjà d'estada al parc està entre `224,728'` i `237,272'`