|
FUNCIONS -(2024-juny-1-1) Considereu la funció `f(x) =2ln(x)/x` , definida per a `x > 0`.
b) Aquesta funció té asímptotes? Feu un esbós de la seva gràfica. [1 punt] c) Calculeu l’equació de la recta tangent a la gràfica de `y = f(x)` en el punt d’abscissa `x = 1`. [0,5 punts] SOLUCIÓ -(2024-juny-1-3) En Joan troba entre els papers del seu avi un esbós com el de la figura adjunta, on es descriu un terreny de regadiu que ha deixat en herència al seu pare.  La corba de la gràfica és `y = f(x)`, amb `f(x) = –x^3 + 7x^2 – 6x + 5`.
b) Calculeu la superfície del terreny. [1,25 punts] SOLUCIÓ -(2024-juny-1-5) Volem construir un petit cobert de fusta de `6` `m^3` de volum, en forma de prisma rectangular, adossat a la paret lateral d’una casa, per a guardar-hi llenya. Només cal construir, per tant, el sostre i tres parets (la paret del fons del cobert és la de la casa a la qual està adossat). A més, volem que el cobert mesuri el triple d’amplària que de fondària. Cada metre quadrat de paret té un cost de construcció de `30 €` i el sostre costa `50 €` per metre quadrat. Un cop construït el cobert, afegir-hi una porta té un cost fix de `35 €`. 
b) Calculeu quines han de ser les dimensions del cobert per tal que el cost de construcció sigui mínim i justifiqueu la resposta. Quin és aquest cost? [1,25 punts] SOLUCIÓ -(2023-juny-1-1) Calculeu els coeficients `a`, `b`, `c` i `d` de la funció `f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d` si sabem que l’equa- ció de la recta tangent a la gràfica de la funció `f` en el punt d’inflexió `(1, 0)` és `y = –3x + 3` i que la funció té un extrem relatiu en el punt de la gràfica d’abscissa `x = 0`. [2,5 punts] SOLUCIÓ -(2023-juny-1-3) Sigui la funció derivada d’una funció derivable` f(x)` que passa pel punt `A = (0, 3)`. $$ f'(x)=\begin{cases} x-1 \text{, si } x\le2\\ \\ \frac{1}{x-1} \text{, si } x>2\end{cases} $$
b-Calculeu l’equació de la recta tangent a la funció `f'(x)` en el punt d’abscissa `x = 3`. [1 punt] SOLUCIÓ -(2023-juny-1-5) La Núria té un jardí rectangular i vol fer-hi un tan-cat (rectangular o quadrat) de `8` `m^2` per al seu gos. Ha pensat de posar el tancat tocant al mur del jardí, tal com es mostra a la figura de la dreta, per estal- viar-se així un dels quatre costats. El preu de la tanca que vol fer servir és de `2,5` €/m. 
b)Si manteniu la forma rectangular o quadrada del tancat i feu que un dels vèrtexs del jardí coincideixi amb un vèrtex del tancat, quants euros us podeu estalviar? Raoneu com posaríeu el tancat i justifiqueu amb càlculs matemàtics les dimensions de la vos-tra proposta. [0,75 punts] SOLUCIÓ -(2023-setembre-2-2) Sigui la funció `f(x)=1/x`.
b) Calculeu l’equació de la recta tangent a la gràfica de la funció `f` en el punt d’abscissa `x = k`, en què `k` és un nombre real positiu. [0,75 punts] c) Comproveu que, tal com es pot veure en la figura de sota, la recta de l’apartat `b` determina un triangle d’àrea constant amb els semieixos positius de coordenades. Calculeu aquesta àrea. [1 punt]  SOLUCIÓ -(2023-setembre-2-4) Sigui la funció `f(x)` definida per `f(x) = –3x + e^(2x^(3)-1)`.
b) Sigui la funció `h(x) = –3x^2 + e^(2x^(3)–1)`. Calculeu l’àrea de la regió compresa entre les gràfi-ques de les funcions `f(x)` i `h(x)`. [1,25 punts] -(2023-setembre-2-6) Volem construir una peça metà?lica que tingui per secció un trapezi isòsceles amb la base superior tres vegades més llarga que la base inferior. Els altres costats del trapezi fan `10` mm, tal com podeu observar en la figura següent: 
b) Calculeu la longitud de la base inferior del trapezi de manera que l’àrea de la peça sigui màxima i trobeu el valor d’aquesta àrea màxima. [2 punts] -(2022-juny-2-1)Sigui `f '(x) = 3x^2– 12x` la derivada d’una funció `f(x)`.
b) Calculeu l’abscissa del punt d’inflexió de `f(x)` i estudieu la concavitat de la funció. [0,75 punts] c) Sabem que l’àrea del recinte limitat per la corba `y = f''(x)`, l’eix de les abscisses i les rectes `x = 0` i `x = a`, amb `a > 2`, és `15 u^2`. Calculeu el valor de `a`. [1 punt] -(2022-juny-2-4)- a) Trobeu una funció polinòmica `y = g(x)` de grau `3` tal que talli l’eix de les ordenades en el punt `(0, 5)`, que la recta tangent a `y = g(x)` en el punt d’abscissa `x = 1` sigui horitzontal i que `g''(x) = 2x + 1`. [1 punt] b) Comproveu que la funció `f(x) = –x^3 + 6x^2` – 16 té una arrel a `x = 2` i que és estrictament creixent a l’interval `(0, 4)`. Utilitzeu aquesta informació per a calcular l’àrea determinada per la funció `f(x)`, l’eix de les abscisses i les rectes `x = 0` i `x = 4`. [1,5 punts] -(2022-juny-2-6)- Al pati d’una escola es vol crear una àrea de joc de `30` `m^2` per als més petits en forma de trapezi rectangular, de manera que la base més gran mesuri el doble que la base més petita, tal com mostra la figura, i que el costat oblic respecte a les bases (D) sigui tan curt com sigui possible. 
b) Trobeu les dimensions del trapezi per a les quals la longitud del costat `D` és mínima. [1,5 punts] -(2022-setembre-3-2)- Considereu la funció `f(x)=9/(x^2+x-2)`.
b) Calculeu l’equació general de la recta tangent a la funció `f(x)` en el punt d’abscissa `x = 4`. Representeu en un mateix gràfic la funció `f(x)` i la recta tangent. [1,25 punts] -(2022-setembre-3-4)- a) Considereu la funció $$ f(x)=\begin{cases} ln(x) \text{, si } x \in (0,e)\\ \\ ax+b \text{, si } x \in [e,4) \end{cases} $$ , on `a` i `b` són nombres reals. Trobeu el valor de `a` i de `b` per tal que la funció sigui contínua i derivable a l’interval `(0, 4)`. [1,25 punts] b) Calculeu la funció `g(x)` que satisfà `g'(x)=x^3/(9x^4+1)` i que passa pel punt `(0, –1)`. [1,25 punts] -(2022-setembre-3-6)- La imatge següent mostra dues parets perpendiculars d’una sala representades en uns eixos de coordenades, de manera que una paret és al pla `y = 0` i l’altra és al pla `x = 0`.  En el punt `A=(2,0,2)` hi volem penjar un altaveu que ha d'estar connectat a un equip de so, el qual està situat a l'altra paret, en el punt `B=(0,2,1)`. La connexió entre `A` i `B` la farem mitjançant un cable que passi pel punt `C=(0,0,h)`, situat a la recta vertical d'intersecció de les dues parets. Com la qualitat del so de pèn, entre altres actors, de la longitud del cable que uneix els dos aparells, volem fer una instal·lació amb el mínimcable possible. a) Comproveu que la longitud total del cable necessari, en funció d el'latura `h` per on ha de passar el cable a l'eix vertical `OZ`, ve donada per l'expressió `L(h)=\sqrt{h^2-4h+8}+\sqrt{h^2-2h+5}` b) Calculeu les coordenades del punt `C` per on ha de passar el cable per tal que la longitud del cable sigui mínima. Calculeu aquesta longitud mínima del cable. [1,75 punts] -(2021-juny-2-1). Considereu la paràbola `y = 4 – x^2` i un valor `a > 0`.
b) Calculeu el valor de `a > 0` perquè l’àrea del triangle determinat per aquesta recta tangent i els eixos de coordenades sigui mínima. [1,25 punts] -(2021-juny-2-4). Sigui la funció `f(x)=ln(x)/x` definida en el domini `x > 0`, en què `ln` és el logaritme neperià.
b) Determineu si la funció `f(x)` té alguna asímptota horitzontal. [0,5 punts] c) Calculeu l’àrea de la regió delimitada per la corba `y = f(x)` i les rectes `x = 1` i `x = e`. Feu un dibuix aproximat de la gràfica de la funció en el domini `0 < x < 5`, en què quedi representada l’àrea que heu calculat. [1 punt] -(2021-juny-2-6). Considereu la funció `f(x) = e^(x –1) – x – 1`.
b) Demostreu que l’equació f(x) = 0 té exactament dues solucions entre `x = –1` i `x = 3`. [1,25 punts] -(2021-setembre-1-2). a) Donada la funció `f(x)=4/x`, calculeu l’equació de la recta tangent a `y = f(x)` en el punt d’abscissa `x = 1`. Trobeu també l’equació de la recta normal a `y = f(x)` en aquest mateix punt. [1,25 punts] b) Feu un esbós de les gràfiques de la corba `y = f(x)` i de la recta `4x + y = 8`, i calculeu l’àrea delimitada per aquestes dues gràfiques, l’eix de les abscisses i la recta vertical `x = 3`. [1,25 punts] -(2021-setembre-1-4). a) En la figura es mostra la gràfica de la funció `f(x)`. Representeu de manera esquemàtica la gràfica de la funció derivada de `f(x)`. Expliqueu el raonament que heu seguit. [1,25 punts  b) Calculeu els valors de a i b perquè la funció `g(x) = ax^3 + bx^2 + 1` tingui un punt d’inflexió en i la seva derivada en aquest punt sigui `(-3)/2`. [1,25 punts] -(2021-setembre-1-6). Considereu la funció `f(x)=x^3/(x-2)`.
Determineu també quins són els intervals de creixement i decreixement de la funció. [1,5 punts] b) Comproveu que l’equació `f(x) = 0` té una única solució en l’interval `(–2, 1)`. [1 punt] -(2020-juny-1-1) Tracem la recta tangent a la funció `f(x)=1/x^2+1` per un punt `P = (a, f(a))` del primer quadrant. Aquesta recta juntament amb els eixos de coordenades formen un triangle.
ve donada per la funció `g(a)=(a^2+3)^2/(4a)`  b) En quin punt `P` l’àrea del triangle és mínima? Calculeu aquest valor mínim. -(2020-juny-1-4) Considereu la funció `f(x)=(ax^2+b)/x`, en què `a` i `b` són dos paràmetres reals. Calculeu els valors de `a` i `b` de manera que la funció `f(x)` tingui una asímptota obliqua de pendent `1` i un mínim en el punt de la gràfica d’abscissa `x = 2`. -(2020-juny-1-6) Considereu la funció `f(x) = x^3`.
b) Calculeu l’àrea de la regió delimitada per `y = f(x)` i la recta `y = 3x + 2`. -(2020-juny-3-2) S’han trobat unes pintures rupestres en una cova situada en una zona molt pedregosa. Hi ha un camí que voreja parcialment la cova format per l’arc de corba `y = 4 – x^2` d’extrems `(0, 4)` i `(2, 0)`. La cova està situada en el punt de coordenades `(0, 2)`, tal com es mostra en la figura, i es vol habilitar un accés rectilini `d` des del camí a la cova que sigui el més curt possible.  a) Identifiqueu a la gràfica de la figura les coordenades de la cova i del punt del camí des d’on es vol habilitar l’accés. Comproveu que la funció `f(x)sqrt(x^4-3x^2+4)` calcula ladistància des de cada punt del camí a la cova. b) Calculeu les coordenades del punt del camí que queda més a prop de la cova i digueu quina serà la longitud de l’accés `d`. -(2020-juny-3-4) Sigui la funció `f(x)=1/x·ln(x)`, en què ln indica el logaritme neperià, definida per a `x > 0`.
b) Calculeu l’àrea del recinte delimitat per la corba `y = f(x)`, les rectes verticals `x = 1` i `x = e` i l’eix de les abscisses. -(2020-juny-3-6) Una empresa de ceràmica vol posar a la venda una rajola quadrada de `20` `cm` de costat pintada a dos colors, de manera que la superfície de cada color sigui la mateixa i que si es posen les rajoles l’una al costat de l’altra es vegi un dibuix continu (figura 1).  Per a fer-ho, l’empresa utilitza en cada rajola la funció `f(x) = x^3 – 3x^2 + 2x + 1` enquadrada entre els punts de coordenades `(0, 0)`, `(0, 2)`, `(2, 0)` i `(2, 2)`, tal com es mostra en la figura 2, i fa servir com a unitat de mesura el decímetre.
b) Justifiqueu que aquesta funció divideix el quadrat esmentat en dues parts que tenen la mateixa superfície. -(2020-setembre-4-1) Siguin les funcions `f(x) = x^3` i `g(x) = a · x^2`, en què `a` és un nombre real positiu.
b) Calculeu el valor de `a` perquè l’àrea compresa entre `y = f(x)` i `y = g(x)` sigui `27/4` `u^2`. -(2020-setembre-4-3) Sigui `f(x)` una funció derivable la gràfica de la qual passa pel punt `(0, 1)`. La gràfica de la seva derivada, `f'(x)`, és la que es mostra en la figura. 
b) Trobeu les abscisses dels punts singulars de la funció `f(x)` i classifiqueu-los. -(2020-setembre-4-5) Una empresa està treballant en el disseny d’unes càpsules de cafè. L’empresa ha construït la secció transversal de les càpsules inscrivint-la en una semicircumferència de radi `1`, traçant a continuació una corda `CD` paral·lela al diàmetre `AB` i incorporant el punt `E` en el punt mitjà de l’arc `CD`. D’aquesta manera queda traçat el pentàgon `ACEDB`, tal com es mostra en la figura. 
b) Quina ha de ser la distància (indicada en la figura per `h`) a què s’ha de situar la corda `CD` de `AB` per tal que l’àrea del pentàgon `ACEDB` sigui màxima? -(2019-juny-1-1) Les pàgines d’un llibre han de tenir cada una `600` `cm^2` de superfície, amb uns marges al voltant del text de `2` `cm` a la part inferior, `3` `cm` a la part superior i `2` `cm` a cada costat. Calculeu les dimensions de la pàgina que permeten la superfície impresa més gran possible. -(2019-juny-1-4) Considereu la funció `f(x)=(2x^3-5x+4)/(1-x)`.
b) Observeu que , `f(0) = 4` i `f(2) = –10`. Raoneu si, a partir d’aquesta informació, podem deduir que l’interval `(–2, 0)` conté un zero de la funció. Podem deduir-ho per a l’interval `(0, 2)`? Trobeu un interval determinat per dos enters consecutius que contingui, com a mínim, un zero d’aquesta funció. -(2019-juny-1-6) Considereu les funcions `f(x) = x^2` i , i la recta `x = e`.
b) Calculeu l’àrea de la regió descrita en l’apartat anterior. -(2019-juny-4-1) Volem construir un marc rectangular de fusta que delimiti una àrea de `2` `m^2`. Sabem que el preu de la fusta és de `7,5` `€/m` per als costats horitzontals i de `12,5` `€/m` per als costats verticals. Determineu les dimensions que ha de tenir el rectangle perquè el cost total del marc sigui el mínim possible. Quin és aquest cost mínim? -(2019-juny-4-4) Considereu la funció f(x), que depèn dels paràmetres reals `n` i `m` i és definida per $$ f(x)=\begin{cases}e^x & si & x\le 0\\\ \frac{x^2}{4}+n & si & 0 < x\le 2\\\ \frac{3x}{2}+m & si & x>2\end{cases} $$
b) Per al cas `n = –4` i `m = –6`, calculeu l’àrea de la regió limitada per la gràfica de `f(x)`, l’eix de les abscisses i les rectes `x = 0` i `x = 4`. -(2019-juny-4-6) Sabem que una funció `f(x)` és contínua i derivable a tots els nombres reals, que té com a segona derivada `f "(x) = 6x` i que la recta tangent en el punt d’abscissa `x = 1` és horitzontal.
b) Sabent, a més, que la recta tangent en el punt d’abscissa `x = 1` és `y = 5`, calculeu l’expressió de la funció `f`. -(2019-setembre-5-1) Considereu les rectes `y = x` i `y = 2x`, i la paràbola `y = x^2`.
b) Calculeu l’àrea de la regió de l’apartat anterior. -(2019-setembre-5-4) Considereu la funció `f(x)=1/(1+x^2)`.
b) Calculeu les coordenades del punt de la gràfica de la funció `f(x)` en què el pendent de la recta tangent és màxim. -(2019-setembre-5-6) Considereu la funció `f(x)=ln(x)/x`.
b) Calculeu l’àrea de la regió del pla determinada per la gràfica de la funció `f`, les rectes `x = 1` i `x = e`, i l’eix de les abscisses. |