4-(2019-juny-4-1) Volem construir un marc rectangular de fusta que delimiti una àrea de `2` `m^2`. Sabem que el preu de la fusta és de `7,5` `€/m` per als costats horitzontals i de `12,5` `€/m` per als costats verticals. Determineu les dimensions que ha de tenir el rectangle perquè el cost total del marc sigui el mínim possible. Quin és aquest cost mínim? Si la base en diem `x` i l'altura `y` com tenim dos costats de cada, la funció preu serà, `P(x,y)=2x·7'5+2y·12'5=15x+25y` Ara només cal tenir una relació entre `x` i `y` que ve donada per l'àrea `x·y=2 => y=2/x` `P(x)=15x+25·2/x=15x+50/x` Ara només cal cercar el valor mínim fent la derivada i igualant-la a `0`. `P'(x)=15-50/x^2=0 => x^2=50/15=10/3=> x=sqrt(10/3) \approx 1'83 m => y=2sqrt(3/10) \approx 1'10 m` Per demostrar que és un mínim podem calcular la segona derivada `P''(x)=-(-2)·50/x^3=100/x^3` que és positiva per un nombre positiu, la qual cosa `=>` que en `x=sqrt(10/3)` hi ha un mínim. Cost mínim `= P(sqrt(10/3))=15·sqrt(10/3)+50·sqrt(3/10) \approx 54,77` €