-(2025-setembre-3-1) Una família vol comprar un terreny per a fer-s’hi una casa envoltada de penya-segats amb vistes al mar. En aquella zona de la costa, els penya-segats segueixen les rectes `y = 0` i `y = 3x`. A més, la família vol que el terreny sigui triangular i que el tercer costat del triangle passi pel punt `P = (1, 1)`, tal com es pot veure en la figura. a) Plantegeu l’equació de la recta r que defineix el tercer costat del triangle en funció del seu pendent `m`, i comproveu que l’àrea del terreny ve donada per `A(m)=3/2·(m^2-2m+1)/(m^2-3m)`. [1 punt] b) Calculeu el valor de `m` que fa que l’àrea d’aquest terreny (i, per tant, el seu preu) sigui mínima. Quin és el valor d’aquesta àrea? [1,5 punts] Solució: a) `y-1=m(x-1)` `y-1=mx-m` `y=mx-m+1` Per trobar l'àrea cal que trobem la `y` de la intersecció amb la recta, `y=3x`, que és l'altura del triangle. `y=3x => y/3=x`. Ho substituim a l'equació de l'altra recta. `y=my/3-m+1` `3y=my-3m+3` `3y-my=-3m+3` `(3-m)y=-3m+3` `y=(-3m+3)/(3-m)` I per trobar la base del triangle cal trobar la intersecció, la `x` amb l'eix d'abscises, `y=0` `0=mx-m+1` `m-1=mx` `(m-1)/m=x` Finalment, per trobar l'àrea `(\text{base} · \text{altura})/2 => (x·y)/2` `(m-1)/m·(-3m+3)/(3-m)·1/2=(-3m^2+3m+3m-3)/(2(3m-m^2))=(-3m^2+6m-3)/(2(3m-m^2))=(3m^2-6m+3)/(2(m^2-3m))=3/2·(m^2-2m+1)/(m^2-3m)` Àrea=`3/2·(m^2-2m+1)/(m^2-3m) = A(m)` b) Per trobar el mínim derivarem la funció i l'igualarem a `0` per trobar els extrems relatius. `A'(m)=3/2·((2m-2)·(m^2-3m)-(m^2-2m+1)·(2m-3))/(m^2-3m)^2` `A'(m)=3/2·(2m^3-6m^2-2m^2+6m -(2m^3-3m^2-4m^2+6m+2m-3))/(m^2-3m)^2` `A'(m)=3/2·(2m^3-6m^2-2m^2+6m -2m^3+3m^2+4m^2-6m-2m+3)/(m^2-3m)^2` `A'(m)=3/2·(-m^2-2m+3)/(m^2-3m)^2` Ho igualem a `0`. Que vol dir igualar a `0` el numerador. `-m^2-2m+3=0` `x=(2\pm\sqrt{(-2)^2-4·(-1)·3})/(-2)=(2\pm\sqrt{16})/(-2)=(2\pm4)/(-2) =>`, `x_1=-3` i `x_2=1` Per mirar si són màxims o mínims, calculem la segona derivada: `A''(m)=3/2·((-2m-2)·(m^2-3m)^2-(-m^2-2m+3)·2·(m^2-3m)·(2m-3))/(m^2-3m)^4` La resta del numerador val `0` per `m=1` i `m=-3`, ja que son les arrels del polinomi de segon grau de la seva factorització. `A''(1)=3/2·((-2·1-2)·(1^2-3·1)^2)/(1^2-3·1)^4=3/2·(-16)/16=-3/2<0 =>` a `m=1` hi ha un màxim. `A''(-3)=3/2·((-2·(-3)-2)·((-3)^2-3·(-3))^2)/((-3)^2-3·(-3))^4=3/2·(1296)/104976=3/2·1/81=1/54 >0 =>` a `m=-3` hi ha un mínim. Finalment calculem l'àrea per a `m=-3` que serà quan el terreny sigui més barat. `A(m)=3/2·(m^2-2m+1)/(m^2-3m)` `A(-3)=3/2*((-3)^2-2*(-3)+1)/((-3)^2-3*(-3)) = 1,333333 = 4/3` `u^2` El problema no ho demana, però anem a estudiar un xic més a fons la funció àrea. `A(m)=3/2·(m^2-2m+1)/(m^2-3m)` Si busquem el domini veiem que és un quocient de polinomis i no estarà definida pels valors que anulin el denominador. `m^2-3m=0` `(m-3)m=0` `m=0` i `m=3`        O sigui el domini `R - {0, 3}` Si calculem `\lim_{x\to 0} 3/2·(m^2-2m+1)/(m^2-3m) = 1/0 -> \infty` i `\lim_{x\to 3} 3/2·(m^2-2m+1)/(m^2-3m) = (9-6+1)/0 = 4/0 -> \infty` O sigui hi ha la funció Àrea (`A(m)`) té dues asímptotes verticals a `m=0` i `m=3` Si dibuixem les rectes corresponents a aquests valors de `m` entendrem perquè l'àrea val `\infty`. Dibuixem les dues rectes `y_1=3x` i la `y_2=mx-m+1` corresponents per a `m=0`, `=> y_2=1` l'àrea definida: L'àrea és `\infty`. Dibuixem les dues rectes per l'altre valor de `m=3`.`y_1=3x` i la `y_2=mx-m+1` corresponents `=> y_2=3x-2` l'àrea definida: Com les dues rectes són paral·leles l'area també és `\infty`. Finalment observem una cosa curiosaa. Si agafem un valor de `0 < m <3`, per exemple, `m=2`. `A(m)=3/2·(m^2-2m+1)/(m^2-3m) => A(2)= 3/2*(2^2-2*2+1)/(2^2-3*3) = -0,3` Surt una àrea negativa degut a què hem definit l'altura del triangle com la `y` intersecció de les dues rectes, que en aquest cas és negativa. És a dir pe valors de `0<=m<=3` el problema no té sentit. Per valors `m<0` cap problema, ja que la recta té pendent negativa i sempre fa intersecció per sobre de l'esix d'abscises, per exemple `m=-1` Per pendents `m>3` per exemple `m=8` torna a tenir sentit: Mostrem la gràfica de la funció Àrea, `A(m)=3/2·(m^2-2m+1)/(m^2-3m)`