6-(2019-juny-4-6) Sabem que una funció `f(x)` és contínua i derivable a tots els nombres reals, que té com a segona derivada `f''(x) = 6x` i que la recta tangent en el punt d'abscissa `x = 1` és horitzontal. a) Determineu l'abscissa dels punts d'inflexió de la funció `f` i els intervals de concavitat i convexitat. Justifiqueu que la funció `f` té un mínim relatiu en `x = 1`. b) Sabent, a més, que la recta tangent en el punt d'abscissa `x = 1` és `y = 5`, calculeu l'expressió de la funció `f`. a) `f'(x)=(6x^2)/2+a =>` `f'(x)=3x^2+a =>` `f(x)=x^3+ax+b` Si la recta tangent en `x=1` és horitzontal vol dir que `f'(1)=0 =>` `f'(1)=3+a=0 => a=-3` `f(x)=x^3-3x+b` Els punts d'inflexió es troben quan `f''(x)=0 => 6x=0 =>` `x=0` hi ha un punt d'inflexió. `f'''(0)=6\ne0 =>` punt d'inflexió. Per `x<0`,`f''(x)=6x<0 =>` la funció té segona derivada negativa, en alguns contextos això es diu que la funció és convexa `(\cap)`. `f(x)` és convexa a `(-infty, 0)` Per `x>0` passa al revés i en el mateix context es diu que és còncava `(\cup)`. Hi ha altres paradigmes que ho diuen al revés. `f(x)` és còncava a `(0,+infty)` En `x=1`, `f'(1)=0` i `f''(1)=6>0 =>` `x=1`, hi ha un Mínim (còncava). b) `f(x)=x^3-3x+b` `f(1)=5=1-3+b => b=7` `f(x)=x^3-3x+7`