14-(2020-juny-3-4) Sigui la funció `f(x)=1/x·ln(x)`, en què ln indica el logaritme neperià, definida per a `x > 0`. a) Calculeu les coordenades del punt de la corba `y = f(x)` en què la recta tangent a la corba en aquest punt és horitzontal. Estudieu si aquest punt és un extrem relatiu i classifiqueu-lo. b) Calculeu l'àrea del recinte delimitat per la corba `y = f(x)`, les rectes verticals `x = 1` i `x = e` i l'eix de les abscisses. a- `f(x)=(ln(x))/x` `f'(x)=(1/x·x-ln(x)·1)/x^2=(1-ln(x))/x^2` `1-ln(x)=0 => ln(x)=1 => x=e => f(e)=ln(e)/e=1/e => (e, 1/e)` Calculem `f''(x)` per classificar l'extrem. `f''(x)=(-1/x·x^2-(1-ln(x))·2x)/x^4=(-x-2x+2xln(x))/x^4=(-3+2ln(x))/x^3` `f''(e)=(-3+2ln(e))/e^3=-1/e^3<0 =>` a `(e,1/e)` hi ha un màxim. b- `ln(x)= t => dx/x=dt => \int (ln(x))/xdx = \int tdt => t^2/2 => \int (ln(x)/x)dx=ln^2(x)/2+c` `\int_1^e ln(x)/xdx=[ln^2(x)/2]_1^e=1/2(ln^2(e)-ln^2(1))=1/2` `u^2`