|
- (Juny-25-1)-Volem allotjar `10` persones en un hotel que té habitacions individuals, dobles i triples. Sabem que si reservem sis habitacions individuals i dues de dobles, hem de pagar `702` €, i si en reservem una d’individual i tres de triples, hem de pagar el mateix que si en reservem dues de dobles i dues de triples. a) Determineu els preus de l’habitació doble i de la triple en funció del preu de la individual. [1,25 punts] b) Si el preu de l’habitació triple és el doble del preu de la individual, quin és el preu de cada tipus d’habitació? De les tres opcions plantejades per a allotjar les `10` persones, amb quina obtenim el preu més baix i quin és aquest preu? [1,25 punts] - (Juny-25-4)-Al Congrés Català d’Educació Matemàtica (`C2EM`), que se celebrarà a Lleida el proper mes de juliol, hi assistiran docents d’universitat, d’educació secundària i d’educació infantil i primària.A hores d’ara, un `10 %` dels docents inscrits són d’universitat, un `50 %` són de secundària i la resta són d’infantil i primària. D’altra banda, un `40 %` dels docents inscrits d’universitat, un `52 %` dels docents inscrits de secundària i un `65 %` dels docents inscrits d’infantil i primària són dones. OPCIÓ B a) L’organització del Congrés vol donar un detall diferent a cada grup de docents: el detall de tipus `D1` per al grup de docents universitaris, el detall de tipus `D2` per al grup de docents de secundària i el detall de tipus `D3` per al grup de docents d’infantil i primària. Han demanat pressupost a tres empreses diferents, que anomenarem `E1`, `E2` i `E3`. La matriu següent ens dona els preus unitaris, en euros, de cada detall de tipus `D1`, `D2` i `D3` (files) segons les empreses `E1`, `E2` i `E3` (columnes): $$ \begin{pmatrix} 1,25&1&1,25\\\ 0,75&1&1,15\\\ 1&0,85&0,80 \end{pmatrix} $$ La comanda de l’organització es pot representar com un vector fila `(x, y, z)`, en què x representa la quantitat de detalls de tipus `D1`, y és la quantitat de detalls de tipus `D2` i z correspon a la quantitat de detalls de tipus `D3` que cal comprar. L’organització treballa amb la previsió que al Congrés hi assistiran `1.000` persones en total i que els percentatges de cada grup de docents respecte al total seran els matei-xos que els que hi ha en aquest moment de la inscripció. Calculeu mitjançant un producte de matrius quina empresa ofereix el millor preu i quin és aquest preu. [1,25 punts] b) Un hotel situat prop de l’espai on se celebrarà el Congrés ha fet un estudi de mercat. Inicialment es plantejaven oferir l’habitació doble a un preu de `80` € la nit i amb aquest preu estimaven que tindrien `100` reserves d’habitacions dobles. Però l’estudi mostra que la relació entre el preu de l’habitació doble i el nombre de reserves és lineal, de manera que per cada euro de descompte sobre el preu de l’habitació aconsegueixen dues reserves més. Si anomenem `x` el nombre de vegades que s’aplica el descompte d’un euro, escriviu la funció que dona els ingressos de l’hotel en funció de `x`. Quin ha de ser el preu de l’habitació doble per a maximitzar els ingressos? [1,25 punts] - (Juny-TEI-25-1)-Una botiga en línia tenia a la venda tres tipus de productes, que anomenarem `A`, `B` i `C`. L’Ares va comprar un producte de cada abans de les vacances de Nadal i va pagar `135` €. A les rebaixes de gener, la botiga va rebaixar l’article `A` un `4 %`, l’article `B` un `6 %` i l’article `C` un `5 %` respecte al preu inicial. En veure-ho, l’Ares va decidir comprar un producte de tipus `A`, dos de tipus `B` i tres de tipus `C`, i va calcular que s’havia estalviat `16` € respecte del cost total de la mateixa compra sense oferta. Dues setmanes després, van començar les segones rebai-xes i la botiga va rebaixar l’article `A` un `8 %`, l’article `B` un `10 %` i l’article `C` un `6 %` respecte al preu inicial d’abans de Nadal. En veure-ho, l’Ares no se’n va poder estar i va fer una tercera compra. Aquest cop va adquirir tres productes de tipus `A`, un de tipus `B` i cinc de tipus `C`, i va calcular que s’havia estalviat `29` € respe cte al preu total de la mateixa compra si l’hagués feta abans de les vacance s de Nadal. a) Plantegeu un sistema d’equacions lineals que reculli la informació del problema. [0,75 punts] b) Calculeu el preu de cada article abans de les vacances de Nadal. [1,75 punts] - (Juny-TEI-4)-Una fàbrica es dedica a elaborar pasta. Tot el procés de producció es pot resumir en tres etapes: 1. Compra de matèries primeres. Per a elaborar la pasta, l’empresa ha de comprar oli, farina i sal de bona qualitat. La compra la pot fer a tres proveïdors diferents. El primer proveïdor ven l’oli a `3` €/L, la farina a `0,6` €/kg i la sal a `1` €/kg. El segon proveïdor ven l’oli a `3,5` €/L, la farina a `1` €/kg i la sal a `0,7` €/kg. Finalment, el tercer proveïdor ven l’oli a `2,5` €/L, la farina a `0,8` €/kg i la sal a `0,9` €/kg. 2. Elaboració, empaquetament i control de qualitat. Es fabrica i s’envasa la pasta. Posterior- ment, es comprova que la pasta estigui ben feta i envasada correctament, i es verifica que els paquets pesin `500` g de mitjana. 3. Venda. L’estratègia de venda i el preu dels paquets es determinen fent un estudi de mercat. OPCIÓ A a) L’empresa necessita `300` litres d’oli, `700` kg de farina i `25` kg de sal. Escriviu aquesta informació juntament amb els preus per producte de cada proveïdor en forma matricial (deixant ben clar el que representen les files i les columnes) i calculeu mitjançant un producte de matrius el cost total de la comanda per cada proveïdor. Quin dels tres proveïdors és el més econòmic? [1,25 punts] b) Cada paquet de pasta té un cost total de producció de `0,5` €. Si l’empresa el ven per `1,1` €, es venen `1.000` paquets diaris de pasta. També han comprovat que la relació entre el preu de venda i el nombre de paquets venuts és lineal, de manera que per cada `0,01` € que s’apuja el preu de venda del paquet disminueix en `10` el nombre de paquets venuts. Anomenarem `x` el nombre de cops que apugem `0,01` € el preu de venda del paquet. Trobeu la funció que descriu el benefici diari en funció de `x` i calculeu el valor de venda del paquet que fa que el benefici sigui màxim. Quin és aquest benefici? [1,25 punts] - (Setembre-25-2)-Una marca de sabates coneguda va posar a la venda un dels seus models més populars i en va vendre tota la producció a la temporada d’estiu. El preu de cada parell de sabates era de `90` €, però algunes es van vendre al preu original, d’altres amb un `20 %` de descompte i la resta amb un `50 %` a la liquidació de final de temporada. En total es van produir `820.000` parells de sabates d’aquest model, que van proporcionar uns ingressos de `63.837.000` €. Sabem també que es van vendre el doble de sabates rebaixades al `20 %` que al `50 %`. Trobeu quants parells de sabates es van vendre al preu original, quants amb un `20 %` de descompte i quants al `50 %`. [2,5 punts] - (Setembre-25-4)-Una empresa fabrica cotxes elèctrics i cotxes de motor de combustió. L’empresa té tres línies de fabricació: `L1`, `L2` i` L3`. La taula següent mostra el nombre de vehicles de cada tipus que hi ha en aquest moment en cada línia. D’altra banda, sabem que el preu de venda dels vehicles elèctrics és de `40.000` € i el preu de venda dels vehicles de motor de combustió és de `30.000` €.
El cost mitjà de manteniment i consum per cada `100` km és d’`1` € per als vehicles elèctrics i de `6` € per als de motor de combustió. El `2` % de la producció de vehicles de motor de combustió surt de l’empresa amb algun defecte, mentre que només l’`1` % dels vehicles elèctrics surt amb alguna tara. OPCIÓ A a) Obteniu, mitjançant un producte de matrius, la matriu que expressa els ingressos per cada línia un cop s’hagin venut tots els cotxes. Si escollim a l’atzar un dels vehicles que hi ha ara a la fàbrica, quina és la probabilitat que sigui de motor de combustió si sabem que ha sortit defectuós? [1,5 punts] b) És més car comprar un cotxe elèctric, però té menys despeses per kilòmetres recorre-guts que un de combustió. Determineu la funció que representa la despesa acumula-da, entre la compra i els kilòmetres recorreguts, per a cada tipus de vehicle en funció del nombre de kilòmetres recorreguts, `x`. Si un conductor fa `20.000` km l’any, a partir de quants anys li sortirà més a compte el cotxe elèctric que el de combustió? [1 punt] - (Juny-24-2)-Una empresa de mobles disposa de tres fàbriques que produeixen un model de sofà determinat. El mes passat es van fabricar un total de `1.260` unitats d’aquest model i sabem que la segona fàbrica va produir tants sofàs com les altres dues juntes. a) Amb aquesta informació, podem determinar quants sofàs va produir cadascuna de les fàbriques? Justifiqueu la resposta. A continuació, calculeu, només amb aquesta informació, quants sofàs va produir la segona fàbrica. [1,25 punts] b)També sabem que un `10` % dels sofàs produïts per la primera fàbrica, un `30` % dels produïts per la segona i un `20` % dels produïts per la tercera eren de color gris, i que en total es van fabricar `284` sofàs d’aquest color. Trobeu quants sofàs va produir cada fàbrica el mes passat. [1,25 punts] -(Juny-24-4)-Diem que una matriu és màgica si la suma dels elements de cada fila i de cada columna té com a resultat en tots els casos el mateix valor, que s’anomena constant màgica. El Martí ha trobat una manera de crear matrius màgiques triant tres nombres qualssevol i multiplicant-los per les matrius següents: $$ A=\begin{pmatrix} 1&-1&0\\\ -1&0&1\\\ 0&1&-1 \end{pmatrix}, B=\begin{pmatrix} 0&-1&1\\\ 1&0&-1\\\ -1&1&0 \end{pmatrix}, C=\begin{pmatrix} 0&3&0\\\ 1&1&1\\\ 2&-1&2 \end{pmatrix} $$ El Martí proposa als seus amics que cadascú construeixi la seva matriu màgica particular a partir del dia del seu aniversari, del mes del seu aniversari i de la seva edat. a) Sabent que el Martí va néixer el `10` de març i que té 18 anys, calculeu `10 · A + 3 · B + 18 · C`. Comproveu que la matriu resultant és màgica i indiqueu quina és la seva constant màgica (el valor comú de la suma de les files i les columnes). [1,25 punts] b) El Martí ha calculat la matriu màgica del seu pare, que fa l’aniversari el `8` de setembre, i ha obtingut que la seva constant màgica és `153`. Quina edat té el pare del Martí? [1,25 punts] -(Setembre-24-2)-Una inversora vol invertir el seu capital en un banc especialitzat en criptomonedes que ofereix diferents dipòsits amb els interessos següents: — BTC (bitcoin): `15 %` anual. — ETH (ether): `10 %` anual. — LNK (link): `13 %` anual. La inversora vol invertir la mateixa quantitat en bitcoins que entre les altres dues criptomonedes juntes i vol obtenir un rendiment anual global d’un `13 %`. a) Quina ha de ser la relació entre la inversió en ethers i en links? [1,25 punts] b) Si sabem que la inversió total serà de 150.000 €, quina quantitat invertirà en cada criptomoneda? [1,25 punts] -(Setembre-24-4)-Un cinema disposa de dues sales en les quals es projecten dues pel·lícules diferents. La taula següent mostra el nombre de persones que han assistit a la projecció de cada pel·lí-cula la darrera setmana, agrupades per franges d’edat:  La informació de la taula anterior es registra amb la forma matricial $$ A=\begin{pmatrix} 122&620\\\ 930&433\\\ 384&281 \end{pmatrix} $$ a) Considerant la matriu $$ B=\begin{pmatrix} 1\\\ 1 \end{pmatrix}, $$ calculeu el producte `A · B`. Expliqueu el significat de la matriu obtinguda. Sabem que una entrada per a persones de menys de `18` anys costa `5` €, una entrada per a adults d’entre `18` i `65` anys costa `8,5` € i una entrada per a adults de més de `65` anys costa `6,5` €. Trobeu una matriu `C = (a` `b` `c)` de manera que el producte `C · A · B` doni els ingressos setmanals totals obtinguts per la venda d’entrades, i calculeu els ingressos corresponents a aquesta setmana. [1,5 punts] b) Al cap d’uns mesos, el registre setmanal és donat per la matriu $$ D=\begin{pmatrix} 84&23\\\ 338&x\\\ 256&408 \end{pmatrix}, $$ però hi ha un valor que s’ha esborrat, el del nombre de persones entre `18` i `65` anys que han assistit a la segona pel·lícula, i l’hem denotat per `x`. Calculeu el valor de `x` sabent que els ingressos totals d’aquella setmana van ser de `12.076` €. [1 punt] -(Juny-24-Tei-2)-El nou model de maletes Rodamons disposa de tres mides diferents: petita, mitjana i gran. El preu de la maleta gran és el mateix que el de la maleta petita i la mitjana juntes. El lot d’una maleta de cada mida costa `240` €, però si es compra el lot de dues maletes petites, una de mitjana i una de gran, s’obté un `10 %` de descompte del total i el preu final és de `256,5` €. Quin és el preu de cada tipus de maleta sense descompte? [2,5 punts] -(Juny-24-Tei-4)-La Laia, una aficionada a l’artesania feta amb fusta, va muntar un petit negoci fa un parell de mesos. Al seu taller, elabora tres tipus de productes amb fusta reciclada, que després posa a la venda: noms personalitzats, paraules decoratives i baldufes. Durant el primer mes, la Laia va tenir tres clients: el primer va adquirir `2` noms personalitzats i `3` baldufes; el segon va adquirir `1` nom personalitzat, `2` paraules decoratives i `5` baldufes, i el tercer només va comprar `4` baldufes. a) Construïu la matriu `3 × 3` corresponent a les vendes, en què les files representin els clients `(C1, C2` i `C3)` i les columnes representin els productes que van adquirir. Si el primer mes la Laia va vendre els noms personalitzats `(N)` a `20` € cadascun, les paraules decoratives `(P)` a `18` € cadascuna i les baldufes `(B)` a `6` € cadascuna, calculeu quant va facturar a cada client per la seva comanda mitjançant un producte de matrius. [1,5 punts] b) Per tal d’incentivar les vendes, el segon mes la Laia va aplicar un descompte al preu de venda de tots els productes. Durant aquest mes, també va tenir tres clients i va obtenir la matriu de vendes següent: \begin{pmatrix} 3&1&2\\\ 2&0&4\\\ 1&2&3 \end{pmatrix} \begin{matrix} C1\\\ C2\\\ C3 \end{matrix} $$ Si durant el segon mes la Laia va facturar `78` € al primer client, `52` € al segon client i `62` € al tercer client, a quin preu va vendre cada producte? [1 punt] |