(2024-juny-TEI-5-4) La Laia, una aficionada a l’artesania feta amb fusta, va muntar un petit negoci fa un parell de mesos. Al seu taller, elabora tres tipus de productes amb fusta reciclada, que després posa a la venda: noms personalitzats, paraules decoratives i baldufes. Durant el primer mes, la Laia va tenir tres clients: el primer va adquirir `2` noms personalitzats i `3` baldufes; el segon va adquirir `1` nom personalitzat, `2` paraules decoratives i `5` baldufes, i el tercer només va comprar `4` baldufes.

a) Construïu la matriu `3 × 3` corresponent a les vendes, en què les files representin els clients `(C1, C2` i `C3)` i les columnes representin els productes que van adquirir. Si el primer mes la Laia va vendre els noms personalitzats `(N)` a `20` € cadascun, les paraules decoratives `(P)` a `18` € cadascuna i les baldufes `(B)` a `6` € cadascuna, calculeu quant va facturar a cada client per la seva comanda mitjançant un producte de matrius. [1,5 punts]

b) Per tal d’incentivar les vendes, el segon mes la Laia va aplicar un descompte al preu de venda de tots els productes. Durant aquest mes, també va tenir tres clients i va obtenir la matriu de vendes següent:

`N`   `P`   `B`         
$$
\begin{pmatrix}
3&1&2\\\
2&0&4\\\
1&2&3
\end{pmatrix}
\begin{matrix}
C1\\\
C2\\\
C3
\end{matrix}
$$
Si durant el segon mes la Laia va facturar `78` € al primer client, `52` € al segon client i `62` € al tercer client, a quin preu va vendre cada producte? [1 punt]


a)
    `N`   `P`   `B`         
    $$
    \begin{pmatrix}
    2&0&3\\\
    1&2&5\\\
    0&0&4
    \end{pmatrix}
    \begin{matrix}
    C1\\\
    C2\\\
    C3
    \end{matrix}
    $$

    $$
    \begin{pmatrix}
    2&0&3\\\
    1&2&5\\\
    0&0&4
    \end{pmatrix}
    \begin{pmatrix}
    20\\\
    18\\\
    6
    \end{pmatrix}=
    \begin{pmatrix}
    2·20+0·18+3·6\\
    1·20+2·18+5·6\\
    0·20+0·18+4·6
    \end{pmatrix}=
    \begin{pmatrix}
    58\\
    86\\
    24
    \end{pmatrix}
    $$

La Laia va facturar: `58` € al `1r` client, `86` € al `2n` i `24` al `3r`



b)
$$
\begin{pmatrix}
3&1&2\\\
2&0&4\\\
1&2&3
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
x\\\
y\\\
z
\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}
78\\\
52\\\
62
\end{pmatrix}
$$
$$
\begin{pmatrix}
3x+1y+2z\\\
2x+0y+4z\\\
1x+2y+3z
\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}
78\\\
52\\\
62
\end{pmatrix}
$$

I això queda:
$$
\begin{cases}
3x+y+2z=78\\
2x+4z=52\\
x+2y+3z=62
\end{cases}
$$
$$
\begin{cases}
x+2y+3z=62\\
2x+4z=52\\
3x+y+2z=78
\end{cases}
$$
$$
\begin{cases}
x+2y+3z=62\\
4y+2z=72\\
5y+7z=108
\end{cases}
$$
$$
\begin{cases}
x+2y+3z=62\\
4y+2z=72\\
z=4
\end{cases}
$$
$$
\begin{cases}
x+2y+3z=62\\
y=16\\
z=4
\end{cases}
$$
$$
\begin{cases}
x=18\\
y=16\\
z=4
\end{cases}
$$

En el segon mes la Laia ven el noms a `18` € les paraules a `16` € i les baldufes a `4` €