(2025-juny-Tei-4-4A) Una fàbrica es dedica a elaborar pasta. Tot el procés de producció es pot resumir en tres etapes:

1. Compra de matèries primeres. Per a elaborar la pasta, l’empresa ha de comprar oli, farina i sal de bona qualitat. La compra la pot fer a tres proveïdors diferents. El primer proveïdor ven l’oli a `3` €/L, la farina a `0,6` €/kg i la sal a `1` €/kg. El segon proveïdor ven l’oli a `3,5` €/L, la farina a `1` €/kg i la sal a `0,7` €/kg. Finalment, el tercer proveïdor ven l’oli a `2,5` €/L, la farina a `0,8` €/kg i la sal a `0,9` €/kg.

2. Elaboració, empaquetament i control de qualitat. Es fabrica i s’envasa la pasta. Posterior- ment, es comprova que la pasta estigui ben feta i envasada correctament, i es verifica que els paquets pesin `500` g de mitjana.

3. Venda. L’estratègia de venda i el preu dels paquets es determinen fent un estudi de mercat.


OPCIÓ A

a) L’empresa necessita `300` litres d’oli, `700` kg de farina i `25` kg de sal. Escriviu aquesta informació juntament amb els preus per producte de cada proveïdor en forma matricial (deixant ben clar el que representen les files i les columnes) i calculeu mitjançant un producte de matrius el cost total de la comanda per cada proveïdor. Quin dels tres proveïdors és el més econòmic?
[1,25 punts]

b) Cada paquet de pasta té un cost total de producció de `0,5` €. Si l’empresa el ven per `1,1` €, es venen `1.000` paquets diaris de pasta. També han comprovat que la relació entre el preu de venda i el nombre de paquets venuts és lineal, de manera que per cada `0,01` € que s’apuja el preu de venda del paquet disminueix en `10` el nombre de paquets venuts. Anomenarem `x` el nombre de cops que apugem `0,01` € el preu de venda del paquet.

Trobeu la funció que descriu el benefici diari en funció de `x` i calculeu el valor de venda del paquet que fa que el benefici sigui màxim.

Quin és aquest benefici?
[1,25 punts]


Solució:

a)

Oli farina Sal Preu
P1 3 0,6 1 300
P2 2,5 1 0,7 700
P3 2,5 0,8 0,9 25


    $$
    \begin{pmatrix}
    3&0,6&1\\\
    2,5&1&0,7\\\
    2,5&0,8&0,9
    \end{pmatrix}·
    \begin{pmatrix}
    300\\\
    700\\\
    25
    \end{pmatrix}=
    \begin{pmatrix}
    3·300+0,6·700+1·25\\\
    2,5·300+1·700+0,7·25\\\
    2,5·300+0,8·700+0,9·25
    \end{pmatrix}=
    \begin{pmatrix}
    1345\\\
    1467,5\\\
    1332,5
    \end{pmatrix}
    $$

    El proveidor més econòmic és el tercer


b)

    `x` nombre de cops que s'apuja `0,01` € el preu d'un paquet.


    Nombre de paquets venuts en función de `x`, `p(x)=1000-10x`


    Benefici per paquet en funció de `x`, `b(x)=1,1+0,01x-0,5=0,01x+0,6`


    Benefici total nombre de paquets · benefici per paquet `=`


    `B(x)= (1000-10x)·(0,01x+0,6)=-0,1x^2+4x+600`


    Calculem la derivada i igualem a `0` per trobar el màxim.


    `B'(x)=-0,2x+4=0 => x=4/(0,2) = 20`


    Això és un màxim, ja que `B'(x)=-0,2 <0`


    El valor de venda de cada paquet:


    `0,01x+1,1=0,01*20+1,1 = 1,3` €


    Nombre de paquets venuts


    El benefici diari serà:


    `B(20)=-0,1*20^2+4*20+600 = 640` €