|
(2025-juny-1-4B) Al Congrés Català d’Educació Matemàtica (`C2EM`), que se celebrarà a Lleida el proper mes de juliol, hi assistiran docents d’universitat, d’educació secundària i d’educació infantil i primària.A hores d’ara, un `10 %` dels docents inscrits són d’universitat, un `50 %` són de secundària i la resta són d’infantil i primària. D’altra banda, un `40 %` dels docents inscrits d’universitat, un `52 %` dels docents inscrits de secundària i un `65 %` dels docents inscrits d’infantil i primària són dones. OPCIÓ B a) L’organització del Congrés vol donar un detall diferent a cada grup de docents: el detall de tipus `D1` per al grup de docents universitaris, el detall de tipus `D2` per al grup de docents de secundària i el detall de tipus `D3` per al grup de docents d’infantil i primària. Han demanat pressupost a tres empreses diferents, que anomenarem `E1`, `E2` i `E3`. La matriu següent ens dona els preus unitaris, en euros, de cada detall de tipus `D1`, `D2` i `D3` (files) segons les empreses `E1`, `E2` i `E3` (columnes): $$ \begin{pmatrix} 1,25&1&1,25\\\ 0,75&1&1,15\\\ 1&0,85&0,80 \end{pmatrix} $$ La comanda de l’organització es pot representar com un vector fila `(x, y, z)`, en què x representa la quantitat de detalls de tipus `D1`, y és la quantitat de detalls de tipus `D2` i z correspon a la quantitat de detalls de tipus `D3` que cal comprar. L’organització treballa amb la previsió que al Congrés hi assistiran `1.000` persones en total i que els percentatges de cada grup de docents respecte al total seran els mateixos que els que hi ha en aquest moment de la inscripció. Calculeu mitjançant un producte de matrius quina empresa ofereix el millor preu i quin és aquest preu. [1,25 punts] b) Un hotel situat prop de l’espai on se celebrarà el Congrés ha fet un estudi de mercat. Inicialment es plantejaven oferir l’habitació doble a un preu de `80` € la nit i amb aquest preu estimaven que tindrien `100` reserves d’habitacions dobles. Però l’estudi mostra que la relació entre el preu de l’habitació doble i el nombre de reserves és lineal, de manera que per cada euro de descompte sobre el preu de l’habitació aconsegueixen dues reserves més. Si anomenem `x` el nombre de vegades que s’aplica el descompte d’un euro, escriviu la funció que dona els ingressos de l’hotel en funció de `x`. Quin ha de ser el preu de l’habitació doble per a maximitzar els ingressos? [1,25 punts] Solució: a)
\begin{pmatrix} 100&500&400 \end{pmatrix} · \begin{pmatrix} 1,25&1&1,25\\\ 0,75&1&1,15\\\ 1&0,85&0,80 \end{pmatrix} = $$ $$ \begin{pmatrix} 100·1,25+500·0,75+400·1&100·1+500·1+400·0,85&100·1,25+500·1,15+400·0,8 \end{pmatrix}= $$ $$ \begin{pmatrix} 900&940&1020 \end{pmatrix} $$ Entenem que l'empresa que ofereix el millor preu és `E1` per `900` €. b) Diem `x` a cada € de descompte per la qual cosa el preu en funció d'`x` per habitació serà `p(x)=80-x` I el nombre d'habitacions llogades serà `h(x)=100+2x` Ingresos de l'hotel `I(x)=p(x)·h(x)=(80-x)·(100+2x)=-2x^2+60x+8000` Si la derivem trobarem el màxim (com és una funció de segon grau podríem trobar el vèrtex). `I'(x)=-4x+60=0 => x=60/4=15` € que hem de fer de descompte. Si calculem la segona derivada `I''(x)=-4<0 =>` màxim. Per la qual cosa el preu dee l'habitació per maximitzar ingressos és de: El problema no ho demana, però podem calcular quantes habitacions es rerserven: I els ingressos: També ho podíem haver calculat: El problema tampoc ho demana, però la representació del ingressos en funció dels € de descompte és:  |