|
(2025-juny-Tei-4-1) Una botiga en línia tenia a la venda tres tipus de productes, que anomenarem `A`, `B` i `C`. L’Ares va comprar un producte de cada abans de les vacances de Nadal i va pagar `135` €. A les rebaixes de gener, la botiga va rebaixar l’article `A` un `4 %`, l’article `B` un `6 %` i l’article `C` un `5 %` respecte al preu inicial. En veure-ho, l’Ares va decidir comprar un producte de tipus `A`, dos de tipus `B` i tres de tipus `C`, i va calcular que s’havia estalviat `16` € respecte del cost total de la mateixa compra sense oferta. Dues setmanes després, van començar les segones rebai-xes i la botiga va rebaixar l’article `A` un `8 %`, l’article `B` un `10 %` i l’article `C` un `6 %` respecte al preu inicial d’abans de Nadal. En veure-ho, l’Ares no se’n va poder estar i va fer una tercera compra. Aquest cop va adquirir tres productes de tipus `A`, un de tipus `B` i cinc de tipus `C`, i va calcular que s’havia estalviat `29` € respecte al preu total de la mateixa compra si l’hagués feta abans de les vacances.s de Nadal. a) Plantegeu un sistema d’equacions lineals que reculli la informació del problema. [0,75 punts] b) Calculeu el preu de cada article abans de les vacances de Nadal. [1,75 punts] SOLUCIÓ Solució: a)
`0,96x+2·0,94y+3·0,95z=x+2y+3z-16` `3·0,92x+0,9y+5·0,94z=3x+y+5z-29`
`0,96x+1,88y+2,85z=x+2y+3z-16` `2,76x+0,9y+4,7z=3x+y+5z-29`
`x+2y+3z-0,96x-1,88y-2,85z=16` `3x+y+5z-2,76x-0,9y-4,7z=29`
`0,04x+0,12y+0,15z=16` `0,24x+0,1y+0,3z=29` b) Ho resolem per Gauss:
+0.24x +0.1y +0.3z = +29 +0.04x +0.12y +0.15z = +16 +x +y +z = +135 Canviat l'ordre de les equacions: 1ª, 3ª. +x +y +z = +135 +0.04x +0.12y +0.15z = +16 +0.24x +0.1y +0.3z = +29 Multipliquem la 1ª equació per (-0.04) i ho sumem a la 2ª equació multiplicada per 1 . +x +y +z = +135 0x +0.08y +0.11z = +10.6 +0.24x +0.1y +0.3z = +29 Multipliquem la 1ª equació per (-0.24) i ho sumem a la 3ª equació multiplicada per 1 . +x +y +z = +135 0x +0.08y +0.11z = +10.6 0x -0.14y +0.06z = -3.4 Multipliquem la 2ª equació per 0.14 i ho sumem a la 3ª equació multiplicada per 0.08 . +x +y +z = +135 0x +0.08y +0.11z = +10.6 0x 0y +0.0202z = +1.212 Multipliquem la 3ª equació per (-0.11) i ho sumem a la 2ª equació multiplicada per 0.0202 . +x +y +z = +135 0x +0.001616y 0z = +0.0808 0x 0y +0.0202z = +1.212 Multipliquem la 3ª equació per (-1) i ho sumem a la 1ª equació multiplicada per 0.0202 . +0.0202x +0.0202y 0z = +1.515 0x +0.001616y 0z = +0.0808 0x 0y +0.0202z = +1.212 Multipliquem la 2ª equació per (-0.0202) i ho sumem a la 1ª equació multiplicada per 0.001616 . +0.000033x 0y 0z = +0.000816 0x +0.001616y 0z = +0.0808 0x 0y +0.0202z = +1.212 Dividim cada equació pel coeficient de la seva incògnita. +x 0y 0z = +25 0x +y 0z = +50 0x 0y +z = +60 SISTEMA COMPATIBLE DETERMINAT. Solució: x = 25 € preu producte A y = 50 € preu producte B z = 60 € preu producte C |