(2025-set-3-4A) Una empresa fabrica cotxes elèctrics i cotxes de motor de combustió. L’empresa té tres línies de fabricació: `L1`, `L2` i` L3`. La taula següent mostra el nombre de vehicles de cada tipus que hi ha en aquest moment en cada línia. D’altra banda, sabem que el preu de venda dels vehicles elèctrics és de `40.000` € i el preu de venda dels vehicles de motor de combustió és de `30.000` €.

Cotxes elèctrics Cotxes de motor de combustió
L1 20 80
L2 30 100
L3 40 110

El cost mitjà de manteniment i consum per cada `100` km és d’`1` € per als vehicles elèctrics i de `6` € per als de motor de combustió. El `2` % de la producció de vehicles de motor de combustió surt de l’empresa amb algun defecte, mentre que només l’`1` % dels vehicles elèctrics surt amb alguna tara.

OPCIÓ A

a) Obteniu, mitjançant un producte de matrius, la matriu que expressa els ingressos per cada línia un cop s’hagin venut tots els cotxes. Si escollim a l’atzar un dels vehicles que hi ha ara a la fàbrica, quina és la probabilitat que sigui de motor de combustió si sabem que ha sortit defectuós?
[1,5 punts]

b) És més car comprar un cotxe elèctric, però té menys despeses per kilòmetres recorreguts que un de combustió. Determineu la funció que representa la despesa acumulada, entre la compra i els kilòmetres recorreguts, per a cada tipus de vehicle en funció del nombre de kilòmetres recorreguts, `x`. Si un conductor fa `20.000` km l’any, a partir de quants anys li sortirà més a compte el cotxe elèctric que el de combustió?
[1 punt]



Solució:
    `a_1)`

    $$
    \begin{pmatrix}
    20&80\\\
    30&100\\\
    40&110
    \end{pmatrix} ·
    \begin{pmatrix}
    40000\\\
    30000
    \end{pmatrix}=
    \begin{pmatrix}
    20·40000+80·30000\\\
    30·40000+100·30000\\\
    40·40000+110·30000
    \end{pmatrix}=
    \begin{pmatrix}
    3200000\\\
    4200000\\\
    4900000
    \end{pmatrix}
    $$

    `a_2)`

      Cotxes elèctrics `20+30+40 = 90`

      Cotxes de combustió `80+100+110 = 290`

      Total de cotxes `90+290 = 380`

      Probabilitat de ser cotxe elèctric `P(E)=90/380 = 0,236842`

      Probabilitat de ser cotxe combustió `P(C)=290/380 = 0,763158`

      Ens diuen `P(D|C)=0,02` i que `P(D|E)=0,01`

      O sigui `P(D)=P(D \cap C)+ P(D \cap E)=P(C)·P(D|C)+P(E)·P(D|E)`

      `P(D)=0,763158*0,02+0,236842*0,01 = 0,017632`

      Ens demanen `P(C|D)=(P(C)·P(D|C))/(P(D))=(0,763158*0,02)/(0,017632) = 0,865651`


    b)
      La despesa anual pel cotxe elèctric és `20000/100*1 = 200`

      La despesa anual pel cotxe combustió és `20000/100*6 = 1200 `

      En diem `x` al nombre d'anys i `f_e` a la funció despesa pel cotxe elèctric i `f_c` a la funció despesa del de combustió.

      `f_e (x)=40000+200x`


      `f_c (x)=30000+1200x`

      Si igualem les dues funcions trovarem l'any en que la despesa és igual:


      `30000+1200x=40000+200x`


      `1200x-200x=40000-30000`


      `1000x=10000 => x=10000/1000 = 10`

      Al cap de `10` anys la despesa s'iguala, vol dir que si, `x>10` la despesa en el cotxe elèctric es menor.


      A partir de `10` anys