|
(2024-juny-1-4) Diem que una matriu és màgica si la suma dels elements de cada fila i de cada columna té com a resultat en tots els casos el mateix valor, que s’anomena constant màgica. El Martí ha trobat una manera de crear matrius màgiques triant tres nombres qualssevol i multiplicant-los per les matrius següents: $$ A=\begin{pmatrix} 1&-1&0\\\ -1&0&1\\\ 0&1&-1 \end{pmatrix}, B=\begin{pmatrix} 0&-1&1\\\ 1&0&-1\\\ -1&1&0 \end{pmatrix}, C=\begin{pmatrix} 0&3&0\\\ 1&1&1\\\ 2&-1&2 \end{pmatrix} $$ El Martí proposa als seus amics que cadascú construeixi la seva matriu màgica particular a partir del dia del seu aniversari, del mes del seu aniversari i de la seva edat. a) Sabent que el Martí va néixer el `10` de març i que té 18 anys, calculeu `10 · A + 3 · B + 18 · C`. Comproveu que la matriu resultant és màgica i indiqueu quina és la seva constant màgica (el valor comú de la suma de les files i les columnes). [1,25 punts] b) El Martí ha calculat la matriu màgica del seu pare, que fa l’aniversari el `8` de setembre, i ha obtingut que la seva constant màgica és `153`. Quina edat té el pare del Martí? [1,25 punts] Solució: a)
10\begin{pmatrix} 1&-1&0\\\ -1&0&1\\\ 0&1&-1 \end{pmatrix}+3 \begin{pmatrix} 0&-1&1\\\ 1&0&-1\\\ -1&1&0 \end{pmatrix}+ 18\begin{pmatrix} 0&3&0\\\ 1&1&1\\\ 2&-1&2 \end{pmatrix}= $$ $$ \begin{pmatrix} 10&-10&0\\\ -10&0&10\\\ 0&10&-10 \end{pmatrix}+ \begin{pmatrix} 0&-3&3\\\ 3&0&-3\\\ -3&3&0 \end{pmatrix}+ \begin{pmatrix} 0&54&0\\\ 18&18&18\\\ 36&-18&36 \end{pmatrix}= $$ $$ \begin{pmatrix} 10&41&3\\\ 11&18&25\\\ 33&-5&26 \end{pmatrix} $$ b)
Agafem la primera fila (o podem fer amb qualsevol ila o column): `8 · (1,-1,0) + 9 · (0,-1,1) + x · (0,3,0)=(8,-8,0) + (0,-9,9) + (0,3x,0)=8-17+3x+9=153` `8-17+3x+9=153` `3x=153` |