|
-(Juny-25-2)-Un inversor té uns diners invertits en un fons d’inversió molt volàtil. El valor de la seva inversió en euros durant un dia determinat és donat per la funció en què `x \in [0, 24]` representa el temps en hores. a) Calculeu el valor inicial de la inversió en començar el dia i determineu quin benefici o pèrdua haurà tingut al cap de `24` hores. Trobeu també a quina hora del dia el valor de la inversió ha estat màxim i quin era aquest valor màxim. [1,5 punts] b) Hi ha algun moment del dia en què el valor de la inversió és negatiu? Quin és el valor mínim que assoleix? [1 punt] - (Juny-TEI-25-3)-Un estudi estableix que el nombre de microorganismes vius en una mostra de laboratori, mesurat en desenes, és donat per la funció, en què `x` representa les hores transcorregudes des de l’inici de l’estudi. a) Determineu el valor de `k` si sabem que a l’inici de l’estudi hi havia `50` microorganismes. Quin és el valor màxim de microorganismes al qual s’arribarà? En quin instant s’assolirà el màxim? [1,75 punts] b) En quin valor s’estabilitzarà el nombre de microorganismes a llarg termini? [0,75 punts] - (Setembre-25-1)-Un agricultor ha observat que si es planten `25` pereres per hectàrea, el rendiment és de `370` peres per arbre. A més a més, també ha comprovat que la relació entre el nombre de peres per arbre i el nombre de pereres per hectàrea és lineal, de manera que per cada arbre plantat de més per hectàrea, el rendiment disminueix en `10` peres per perera. a) Anomenem x el nombre de pereres de més que plantem, addicionals a les `25` inicials. Calculeu la funció de la producció total de peres per hectàrea `P(x)` en funció de `x`. [1 punt] b) Quin és el nombre total de pereres per hectàrea que cal plantar per a obtenir el màxim de producció per hectàrea? Quina és aquesta producció màxima? A partir de quantes pereres per hectàrea no s’obté cap producció? [1,5 punts] - (Juny-24-1)-Dues companyies de taxi, `A` i `B`, ofereixen tarifes diferents. La companyia `A` ofereix un cost fix de `20` € més `0,4` € per kilòmetre recorregut, mentre que el preu de la companyia `B` segueix la funció `g(x) = 0,01x^2 + 0,1x + 10`, en què `x` representa el nombre de kilòmetres recorreguts. a) Quina de les dues companyies ofereix la tarifa més econòmica si fem un recorregut de `10` km? I si en fem un de `80` km? Calculeu la diferència de preu en cada cas. Hi ha cap cost fix en la tarifa de la companyia `B` només pel sol fet de pujar al taxi? [1 punt] b) Determineu per a quin nombre de kilòmetres recorreguts les dues tarifes coincidei-xen. Si considerem només els trajectes inferiors a aquesta quantitat, per a quin nombre de kilòmetres la diferència de preu entre una tarifa i l’altra és màxima? Quina és aquesta diferència màxima de preu? [1,5 punts] - (Juny-24-3)-Una pagesa contracta un conductor perquè porti un tractor fins a un poble que es troba a `300` km de distància. Sabem que el gasoil que fa servir el tractor costa `1,96` € per litre i que el conductor cobra `14,70` € l’hora. Suposem que el conductor farà tot el trajecte a una velocitat constant i que el consum de gasoil (en litres per hora), en funció de la velocitat `x` (en kilòmetres per hora), és donat per la funció `G(x)=5+x^2/98`. a) Calculeu el temps que el conductor trigarà a fer el viatge i el cost total del viatge si el tractor fa tot el recorregut a `40` km/h (la velocitat màxima permesa per a aquest tipus de vehicle). Comproveu que la funció que dona el cost total del viatge en funció de la velocitat del tractor es pot expressar com a `C(x)=(7350)/x+6x`. [1,25 punts] b) Calculeu quina és la velocitat que fa que el cost total del viatge sigui mínim. Quin és aquest cost? [1,25 punts] - (Setembre-24-1)-Els beneficis o pèrdues diaris d’una nova empresa durant el primer any de funcionament són donats per la funció `B(x) = –x^2 + 260x – 12.000`, en què `x` representa el dia des de l’inici de l’activitat de l’empresa. a) Quin benefici o pèrdua va tenir l’empresa el dia `45`? Quins dies va obtenir un benefici de `4.000` €? [1 punt] b) Calculeu quin dia l’empresa va obtenir el benefici màxim i quin va ser aquest valor. Calculeu també entre quins dies l’empresa no va tenir pèrdues. [1,5 punts] - (Setembre-24-3)-L’Ona vol construir una capsa de cartró de base quadrada i oberta (sense tapa) per a posar-hi retoladors i colors, com la de la figura següent:  La capsa ha de tenir un volum de `4` litres. a) Expresseu l’alçària de la capsa (`y`) en funció de la longitud del costat de la base (`x`). [0,5 punts] b) L’Ona vol fer servir el mínim de cartró possible per a construir la capsa. Quants cen-tímetres ha de mesurar el costat de la base (`x`) perquè la superfície de la capsa sigui mínima? Quants centímetres ha de mesurar l’alçària (`y`)? Quina quantitat de cartró farà servir per a construir la capsa? [2 punts] - (Juny-Tei-24-1)-Una empresa de paqueteria té unes tarifes d’enviaments de paquets que depenen del pes de cada paquet, tot i que no de manera lineal. Volem enviar un paquet a una distància aproximada de `650` km. La informació que ofereix l’empresa al seu web sobre els preus per a enviar un paquet a aquesta distància és la següent: — si un paquet pesa fins a `2` `kg`, l’enviament té un cost fix de `30` `€`; — si un paquet pesa més de `2` `kg` però menys d’`11` `kg`, els primers `2` `kg` costen `15` €/kg i la resta de kilograms es paguen a `12` €/kg; — si un paquet pesa entre `11` i `25` `kg`, ambdós inclosos, els primers `11` `kg` costen `13` €/kg i la resta costen `15` €/kg; — a partir de `25` `kg`, cal posar-se en contacte amb l’empresa. a) Quant costarà enviar un paquet de `9,5` `kg`? I un de `13` `kg`? Trobeu la funció definida a trossos que dona el preu de l’enviament d’un paquet de fins a `25` `kg` en funció del seu pes i estudieu-ne la continuïtat. [1,75 punts] b) Si hem pagat `162` € per un enviament, quant pesava el paquet que hem enviat? [0,75 punts] - (Juny-Tei-24-3-Una empresa de lloguer de vehicles disposa d’una flota de `250` vehicles. Si el preu del lloguer diari d’un vehicle és de `50` €, aconsegueix llogar-los tots. S’ha observat que la relació entre el preu del lloguer dels vehicles i el nombre de vehicles que es lloguen és lineal, de manera que per cada euro que s’incrementa el preu diari del lloguer es lloguen dos vehicles menys. Cada vehicle llogat genera un cost diari d’`1` € de manteniment. a) Si anomenem x el nombre d’euros que s’incrementa el preu del lloguer, escriviu la funció que determina els beneficis obtinguts en funció de `x`. [1 punt] b) A quin preu cal llogar els vehicles per a aconseguir el màxim de beneficis? Quin és aquest benefici màxim? [1,5 punts] |