(2025-juny-Tei-4-3) Un estudi estableix que el nombre de microorganismes vius en una mostra de laboratori, mesurat en desenes, és donat per la funció, en què `x` representa les hores transcorregudes des de l’inici de l’estudi. a) Determineu el valor de `k` si sabem que a l’inici de l’estudi hi havia `50` microorganismes. `f(x)=(15x)/(9+x^2)+k`, Quin és el valor màxim de microorganismes al qual s’arribarà? En quin instant s’assolirà el màxim? [1,75 punts] b) En quin valor s’estabilitzarà el nombre de microorganismes a llarg termini? [0,75 punts] Solució: `a_1)` Busquem `f(0)` i ho igualem a `5` ja que`f(x)` està expressat en decenes. `f(0)=(15·0)/(9+0^2)+k=0+k=k=5` `f(x)=(15x)/(9+x^2)+5` `a_2)` Calculem la funció derivada: `f'(x)=((15x)/(9+x^2)+5)'=(15·(9+x^2)-15x·2x)/(9+x^2)^2=(135+15x^2-30x^2)/(9+x^2)^2=(135-15x^2)/(9+x^2)^2` `(135-15x^2)/(9+x^2)^2=0` `135-15x^2=0` `x^2=135/15 = 9 => x=\pm 3` Els valors negatius no tenen sentit ja que em iniciat l'estudi a `t=0`. Per la qual cosa, si hi ha un màxim ha de ser en `x=3` i `f(3)=(15*3)/(9+3^2)+5 = 7,5` Per veure que és un màxim buscarem les imatges al seu voltant `x=2` i `x=4` i veurem si són més grans o més petites. `f(2)=(15*2)/(9+2^2)+5 = 7,307692` i `f(4)=(15*4)/(9+4^2)+5 = 7,4` Com no hi ha més màxims, ni mínims i tampoc hi ha asímptotes verticals ja que el denominador mai pot ser `0` ja que sempre és `9+x^2>0`. Al ser `f(2) < f(3) < f(4)` , podem afirmar que a `(3,7'5)` la funció tindrà un màxim. `75` microporganismes i s'assolirà a les `3` hores b) Per contestar aquesta pregunta cal calcular: `\lim_{x\to +infty}(15x)/(9+x^2)+5=0+5` Ja que el quocient de polinomis tendeix a `0` degut a que el grau de dalt `<` que el de baix. O sigui tendirà a estancar-se en `50` microorganismes.