(2024-juny-1-1) Dues companyies de taxi, `A` i `B`, ofereixen tarifes diferents. La companyia `A` ofereix un cost fix de `20` € més `0,4` € per kilòmetre recorregut, mentre que el preu de la companyia `B` segueix la funció `g(x) = 0,01x^2 + 0,1x + 10`, en què `x` representa el nombre de kilòmetres recorreguts.

a) Quina de les dues companyies ofereix la tarifa més econòmica si fem un recorregut de `10` km? I si en fem un de `80` km? Calculeu la diferència de preu en cada cas. Hi ha cap cost fix en la tarifa de la companyia `B` només pel sol fet de pujar al taxi?
[1 punt]

b) Determineu per a quin nombre de kilòmetres recorreguts les dues tarifes coincideixen. Si considerem només els trajectes inferiors a aquesta quantitat, per a quin nombre de kilòmetres la diferència de preu entre una tarifa i l’altra és màxima? Quina és aquesta diferència màxima de preu?
[1,5 punts]


Solució:

    a)
      `f(x)=0,4x+20`    i    `g(x)=0,01x^2 + 0,1x + 10`

      `f(10)=0,4*10+20 = 24` € i `g(10)=0,01*10^2+0,1*10+10 = 12`

      Si fem `10` km, millor preu la companyia `B`


      `f(80)=0,4*80+20 = 52` € i `g(10)=0,01*80^2+0,1*80+10 = 82`

      Si fem `80` km, millor preu la companyia `A`


      Sí, `10` €




    `b_1)`
      `0,4x+20=0,01x^2 + 0,1x + 10`


      `0,01x^2 + (0,1-0,4)x + 10-20=0`


      `0,01x^2 -0,3x -10=0`


      `x=(0,3 pm \sqrt{(-0,3)^2-4·0,01·(-10)})/(0,02)`


      `x=(0,3 pm \sqrt{0,49})/(0,02)`


      `x=(0,3 pm 0,7)/(0,02)`


      `x_2=(0,3-0,7)/(0,02) = -20` que no té cap sentit pujar a un taxi i fer km negatius


      `x_1=(0,3+0,7)/(0,02) = 50` km




    `b_2)`
      `D(x)=(0,4x+20)-(0,01x^2 + 0,1x + 10)`


      `D(x)=0,4x+20-0,01x^2 - 0,1x - 10)`


      `D(x)=-0,01x^2 + 0,3x + 10`


      `D'(x)=-0,02x + 0,3`


      `-0,02x + 0,3=0`


      `x =(-0,3)/(-0,02) = 15` km diferència màxima, ja que `D''(x)=-0,02<0` màxim.


      I la diferència de preu:


      `D(15)=-0,01*15^2+0,3*15+10 = 12,25` €