|
(2025-set-3-1) Un agricultor ha observat que si es planten `25` pereres per hectàrea, el rendiment és de `370` peres per arbre. A més a més, també ha comprovat que la relació entre el nombre de peres per arbre i el nombre de pereres per hectàrea és lineal, de manera que per cada arbre plantat de més per hectàrea, el rendiment disminueix en `10` peres per perera. a) Anomenem `x` el nombre de pereres de més que plantem, addicionals a les `25` inicials. Calculeu la funció de la producció total de peres per hectàrea `P(x)` en funció de `x`. [1 punt] b) Quin és el nombre total de pereres per hectàrea que cal plantar per a obtenir el màxim de producció per hectàrea? Quina és aquesta producció màxima? A partir de quantes pereres per hectàrea no s’obté cap producció? [1,5 punts] Solució: a)
Rendiment en funció del nombre de pereres que hi afegim, `x`. `r(x)=370-10x` Producció `P(x)=(25+x)·(370-10x)=-10x^2+120x + 9250` b) Cal trobar el mínim, `P'(x)=-20x+120` `-20x+120=0 => x=120/20=6` pereres a afegir. Comprovem que és un màxim `P''(x)=-20<0 => x=20` la funció `P(x)` té un màxim. O sigui, el nombre de pereres total que cal palantar és; Per calcular la producció màxima calculem el rendiment (peres per arbre) `r(20)=370-10·6=310 =>` Si multipliquem el nombre d'arbres · el nombre de peres per arbre `=>` Per saber quantes pereres cal afegir per que la producció baixi a `0` igualem a `0` la producció. `P(x)` `-10x^2+120x + 9250=0` `-x^2+12x + 925=0` `x=(-12\pm\sqrt{12^2-4·(-1)·925})/-2=(-12\pm\sqrt{3844})/-2=(-12\pm62)/-2` `x_1=(-12+62)/-2 = -25` Evidentment, si treiem les `25` pereres, el nombre de pereres quedarà, `p(25)=25-25=0` `x_2=(-12-62)/-2 = 37` Si plantem `37` arbres més, la producció serà `0` ja que el rendiment, `r(37)=370-10·37=0` |