|
(2024-juny-1-3) Una pagesa contracta un conductor perquè porti un tractor fins a un poble que es troba a `300` km de distància. Sabem que el gasoil que fa servir el tractor costa `1,96` € per litre i que el conductor cobra `14,70` € l’hora. Suposem que el conductor farà tot el trajecte a una velocitat constant i que el consum de gasoil (en litres per hora), en funció de la velocitat `x` (en kilòmetres per hora), és donat per la funció `G(x)=5+x^2/98`. a) Calculeu el temps que el conductor trigarà a fer el viatge i el cost total del viatge si el tractor fa tot el recorregut a `40` km/h (la velocitat màxima permesa per a aquest tipus de vehicle). Comproveu que la funció que dona el cost total del viatge en funció de la velocitat del tractor es pot expressar com a `C(x)=(7350)/x+6x`. [1,25 punts] b) Calculeu quina és la velocitat que fa que el cost total del viatge sigui mínim. Quin és aquest cost? [1,25 punts] Solució: a) Per la qual cosa la despesa de conductor serà, `7,5*14,7 = 110,25` € La despesa en gasoil és de `G(40)·7,5·1,96=(5+40^2/98)*7,5*1,96 = 313,5` € temps `t=300/x` Consum total (litres / hora) en funció de la velocitat `x => G(x)·t=5+x^2/98·300/x=1500/x+300/98x` Despesa per gasoil: litres `·1,96 =(1500/x+300/98x)·1,96=` `(1500·1,96)/x+(300·1,96)/98x=2940/x+6x` Cost del conductor: temps `· 14,7 = 300/x·14,7= (300·14,7)/x= 4410/x` O sumem tot, Cost gasoil `+` Cost del conductor: b)
`C'(x)=-7350/x^2+6=0` `6=7350/x^2` `x^2=7350/6 = 1225` Comprovem que ès un mínim fent la segona derivada: `C''(x)=-(-2)·7350/x^3=14700/x^3` que `C''(35)=14700/35^3>0 =>` mínim. I el cost a la velocitat que dona un cost mínim: |