(2024-set-3-3)-L’Ona vol construir una capsa de cartró de base quadrada i oberta (sense tapa) per a posar-hi retoladors i colors, com la de la figura següent: La capsa ha de tenir un volum de `4` litres. a) Expresseu l’alçària de la capsa (`y`) en funció de la longitud del costat de la base (`x`). [0,5 punts] b) L’Ona vol fer servir el mínim de cartró possible per a construir la capsa. Quants centímetres ha de mesurar el costat de la base (`x`) perquè la superfície de la capsa sigui mínima? Quants centímetres ha de mesurar l’alçària (`y`)? Quina quantitat de cartró farà servir per a construir la capsa? [2 punts] a) Volum = àrea base `·` altura `= x·x·y=x^2·y` això ha de ser` =4000 => x^2y=4000 =>` (j que volem les mesures en `cm` `y=4000/x^2` b) Cal minimitzar l'àrea. L'àrea és la suma de l'àrea de la base `x^2 més els `4` costats laterals `A(x)=2x^2+4xy = x^2+4x·4000/x^2= x^2+16000/x` Calculem la derivada de `A(x)=x^2+16000/x` `A'(x)=2x-16000/x^2` Si ho igualem a `0` `2x-16000/x^2=0` `2x=16000/x^2` `x^3=16000/2=8000` `x=\root(3){8000}=20` `cm` de costat de la base. `y=4000/20^2 = 10` `cm` d'alçària. `A(20)=20^2+16000/20 = 1200` `cm^2` de cartró que nececessitem. Falta demostrar que és un mínim. Calculem la segona derivada. `A''(x)=2+2·16000/x^3` que això és `>0` per qualsevol `x>0`, en particular per a `x=20`, el que implica que en aquest punt, `A(x)`, té un mínim. Per demostrar que és un màxim sense dalcular la segona derivada podem buscar la derivada a `19` a l'esquerra del `20` `A'(19)=2·19-16000/19^2 = -6,3213296398892` que dona negatiu, per la qual cosa a l'esquerra de `x=20` la funció és decreixent. `A'(21)=2·21-16000/21^2 = 5,718820` que dona positiu, per la qual cosa a la dreta de `x=20` la funció és creixent. Tot plegat implica que a `x=20` la funció té un mínim.