(2025-juny-1-2) Un inversor té uns diners invertits en un fons d’inversió molt volàtil. El valor de la seva inversió en euros durant un dia determinat és donat per la funció `f(x)=x^3/3-(35x^2)/2+300x+250` en què `x \in [0, 24]` representa el temps en hores. a) Calculeu el valor inicial de la inversió en començar el dia i determineu quin benefici o pèrdua haurà tingut al cap de `24` hores. Trobeu també a quina hora del dia el valor de la inversió ha estat màxim i quin era aquest valor màxim. [1,5 punts] b) Hi ha algun moment del dia en què el valor de la inversió és negatiu? Quin és el valor mínim que assoleix? [1 punt] Solució: a) `f(0)=0^3/3-(35·0^2)/2+300·0+250=250` € `f(24)=24^3/3-(35*24^2)/2+300*24+250 = 1978` Benefici `1978-250 = 1728` €. Màxim: `f'(x)=x^2-35x+300` `f'(x)=0 => x^2-35x+300=0` `x=(35\pm\sqrt{35^2-4·300·1})/2=(35\pm\sqrt{25})/2=(35\pm5)/2` `x_1=(35+5)/2 = 20` `x_2=(35-5)/2 = 15` Per veure què són calculem la segona derivada. `f''(x)=2x-35` `f''(15)=2*15-35 = -5 < 0` a `x=15` hi ha un màxim `f''(20)=2*20-35 = 5 > 0` a `x=20` hi ha un mínim `f(15)=15^3/3-(35*15^2)/2+300*15+250 = 1937,5` `f(20)=20^3/3-(35*20^2)/2+300*20+250 = 1916,666` A l'interval `[0,24]` hi ha un màxim relatiu `(15,1937.5)` i un mínim relatiu a `(20,1916.67)` per la qual cosa la funció és creixent entre `[0,15)` i torna a ser-ho de `(20,24]` la qual cosa fa que el mínim absolut és a `(0,250)` i el màxim absolutu és a `(24,1978)` b) La funció és creixent sempre excepte a l'interval `(15,20)` per la qual cosa el valor més petit és a `(0,250)` (mínim). La qual cosa fa que la funció no sigui mai negativa. L'exercici no ho demana, però mostrem la gràfica per veure i ajudar a entendre-ho millor.