(2024-set-3-1)-Els beneficis o pèrdues diaris d’una nova empresa durant el primer any de funcionament són donats per la funció `B(x) = –x^2 + 260x – 12.000`, en què `x` representa el dia des de l’inici de l’activitat de l’empresa. a) Quin benefici o pèrdua va tenir l’empresa el dia `45`? Quins dies va obtenir un benefici de `4.000` €? [1 punt] b) Calculeu quin dia l’empresa va obtenir el benefici màxim i quin va ser aquest valor. Calculeu també entre quins dies l’empresa no va tenir pèrdues. [1,5 punts] `a_1)` `B(45)=-45^2+260·45-12000 = -2325` `2325` € de pèrdua el dia `45` `a_2)` `-x^2+260x-12000 = 4000` `-x^2+260x-16000 = 0` `x=(-260\pmsqrt(260^2 - 4·(-1)·(-16000)))/(2·(-1))` `x=(-260\pmsqrt(3600))/(-2)` `x=(-260\pm60)/(-2)` `x_1=(-260+60)/(-2) = 100` `x_2=(-260-60)/(-2) = 160` El dies `100` i `160` van obtenir un benefici de `4000` € `b_1)` Per trobar el màxim calculem quan la derivada vol `0`. `B'(x)=-2x+260 =0 => x=260/2 = 130` Si caculem la segona derivada `B''(x)=-2` negativa `=>` a `x=130` hi ha un màxim que val: Màxim `x=45` i `B(130)=-130^2+260·130-12000 = 4900` € `b_2)` Per trobar quan no va tenir pèrdues cal trobar els punts de tall amb l'eix de les `x` `B(x)=0`. `-x^2+260x-12000 = 0` `x=(-260\pmsqrt(260^2 - 4·(-1)·(-12000)))/(2·(-1))` `x=(-260\pmsqrt(19600))/(-2)` `x=(-260\pm140)/(-2)` `x_1=(-260+140)/(-2) = 60` `x_2=(-260-140)/(-2) = 200` La funció `B(x)` és una paràbola que té un màxim per la qual cosa no tindrà pèrdues en aquets interval de dies: `[60, 200]` L'interval no és obert perquè diu no té pèrdues, Benefici `=0` és no tenir pèrdues. El problema no ho demana, però pot ser aclaridor veure la gràfica de la función `B(x)`