(2024-juny-TEI-5-3) Una empresa de lloguer de vehicles disposa d’una flota de `250` vehicles. Si el preu del lloguer diari d’un vehicle és de `50` €, aconsegueix llogar-los tots. S’ha observat que la relació entre el preu del lloguer dels vehicles i el nombre de vehicles que es lloguen és lineal, de manera que per cada euro que s’incrementa el preu diari del lloguer es lloguen dos vehicles menys. Cada vehicle llogat genera un cost diari d’`1` € de manteniment. a) Si anomenem x el nombre d’euros que s’incrementa el preu del lloguer, escriviu la funció que determina els beneficis obtinguts en funció de `x`. [1 punt] b) A quin preu cal llogar els vehicles per a aconseguir el màxim de beneficis? Quin és aquest benefici màxim? [1,5 punts] a) `x` és el nombre d'€ que incrementem el preu de lloguer, per la qual cosa el preu en funció d'`x` és `P(x)=50+x` Però per cada € que pugen, lloguem `2` vehicles menys, per la qual cosa el nombre de vehicles llogats en funció d'`x` és `V(x)=250-2x` El cost serà `C(x)=(250-2x)·1=250-2x` Amb tot plegat els beneficis en funció d'`x` serà: `B(x)=P(x)·V(x)-C(x)` `B(x)=(50+x)·(250-2x)-(250-2x)` `B(x)=-2x^2+150x+12500-250+2x` `B(x)=-2x^2+152x+12250` b) Per trobar el benefici maxim cal derivar la funció i veure quan val `0`. `B'(x)=-4x+152=0 => 4x=152 => x=152/4 = 38` € de puja `=>` `P(38)=50+38 = 88` € preu de lloguer diari I el benefici per aquest preu serà: `B(38)=-2·38^2+152·38+12250 = 15138` € Falta un petit detall, demostrar que per a `x=38` hi ha un màxim. Calculem la segona derivada. `B''(x)=-2<0 => `a ` (38,15138)` la funció `B(x)` té un màxim.