|
L’examen consta de QUATRE exercicis obligatoris. Cada exercici val 2,5 punts. Feu els exercicis 1, 2 i 3 responent a TOTES les qüestions que s’hi plantegen. A l’exercici 4, trieu UNA de les dues opcions (A o B) proposades. En totes les respostes, expliqueu sempre què voleu fer i per què. Cal que la redacció de la resposta es faci de manera coherent, amb correcció i claredat, emprant la notació i el vocabulari matemàtic adequats i expressant la solució de manera clara. Podeu utilitzar la pàgina en blanc del final del quadern per a fer esquemes, esborranys, etc., o per a acabar de respondre a algun exercici si necessiteu més espai. En aquest últim cas, cal que ho indiqueu clarament al final de la pàgina de l’exercici corresponent. Podeu utilitzar calculadora, però no es permet l’ús de calculadores o altres aparells que poden emmagatzemar dades o que poden transmetre o rebre informació. 1-Una botiga en línia tenia a la venda tres tipus de productes, que anomenarem `A`, `B` i `C`. L’Ares va comprar un producte de cada abans de les vacances de Nadal i va pagar `135` €. A les rebaixes de gener, la botiga va rebaixar l’article `A` un `4 %`, l’article `B` un `6 %` i l’article `C` un `5 %` respecte al preu inicial. En veure-ho, l’Ares va decidir comprar un producte de tipus `A`, dos de tipus `B` i tres de tipus `C`, i va calcular que s’havia estalviat `16` € respecte del cost total de la mateixa compra sense oferta. Dues setmanes després, van començar les segones rebai-xes i la botiga va rebaixar l’article `A` un `8 %`, l’article `B` un `10 %` i l’article `C` un `6 %` respecte al preu inicial d’abans de Nadal. En veure-ho, l’Ares no se’n va poder estar i va fer una tercera compra. Aquest cop va adquirir tres productes de tipus `A`, un de tipus `B` i cinc de tipus `C`, i va calcular que s’havia estalviat `29` € respecte al preu total de la mateixa compra si l’hagués feta abans de les vacance s de Nadal. a) Plantegeu un sistema d’equacions lineals que reculli la informació del problema. [0,75 punts] b) Calculeu el preu de cada article abans de les vacances de Nadal. [1,75 punts] 2-Una empresa fabrica bicicletes convencionals i elèctriques. El responsable de qualitat de l’empresa ha mirat l’historial de vendes i ha calculat que el `5 %` de les bicicletes convencionals havien tingut algun tipus de problema que n’havia requerit una revisió postvenda. En el cas de les bicicletes elèctriques, aquest percentatge era del `15 %`. Actualment, el `25 %` de la producció és de bicicletes convencionals i el `75 %`, de bicicletes elèctriques a) Si escollim una bicicleta a l’atzar, quina és la probabilitat que tingui algun tipus de problema que requereixi una revisió postvenda? Si la bicicleta escollida a l’atzar presenta algun tipus de problema que requereixi una revisió postvenda, quina és la probabilitat que sigui elèctrica? [1,25 punts] b) El responsable de qualitat creu que la dada segons la qual un `15 %` de bicicletes elèc-triques tenen algun problema que requereix el servei postvenda ha quedat desfasada. Considera que actualment tant la tecnologia com els controls de qualitat previs han millorat molt i aquesta proporció ha disminuït. Per a comprovar-ho, pren una mostra de `100` bicicletes elèctriques que ha venut en els darrers mesos i observa que només `8` han requerit una revisió postvenda. A partir d’aquestes dades, trobeu un interval de confiança del `95 %` per a la proporció de bicicletes elèctriques que tenen algun problema i requereixen una revisió postvenda. A partir del resultat obtingut, podem afirmar que aquesta proporció ha disminuït? [1,25 punts] Fórmules per a resoldre l’exercici:
`[p-z_gamma \sqrt{(p(1-p))/n}` `,` `p+z_gamma \sqrt{(p(1-p))/n}]` `-`per a la mitjana (mostres normals amb la variància `sigma^2` coneguda): `[overline{x}-z_gamma (sigma)/\sqrt{n}` `,` `overline{x}+z_gamma (sigma)/\sqrt{n}]` `-`per a la mitjana (mostres grans amb la variància `sigma^2` desconeguda): `[overline{x}-z_gamma (s)/\sqrt{n}` `,` `overline{x}+z_gamma (s)/\sqrt{n}]` 3-Un estudi estableix que el nombre de microorganismes vius en una mostra de laboratori, mesurat en desenes, és donat per la funció, en què `x` representa les hores transcorregudes des de l’inici de l’estudi. a) Determineu el valor de `k` si sabem que a l’inici de l’estudi hi havia `50` microorganismes. Quin és el valor màxim de microorganismes al qual s’arribarà? En quin instant s’assolirà el màxim? [1,75 punts] b) En quin valor s’estabilitzarà el nombre de microorganismes a llarg termini? [0,75 punts] 4-Una fàbrica es dedica a elaborar pasta. Tot el procés de producció es pot resumir en tres etapes: 1. Compra de matèries primeres. Per a elaborar la pasta, l’empresa ha de comprar oli, farina i sal de bona qualitat. La compra la pot fer a tres proveïdors diferents. El primer proveïdor ven l’oli a `3` €/L, la farina a `0,6` €/kg i la sal a `1` €/kg. El segon proveïdor ven l’oli a `3,5` €/L, la farina a `1` €/kg i la sal a `0,7` €/kg. Finalment, el tercer proveïdor ven l’oli a `2,5` €/L, la farina a `0,8` €/kg i la sal a `0,9` €/kg. 2. Elaboració, empaquetament i control de qualitat. Es fabrica i s’envasa la pasta. Posterior- ment, es comprova que la pasta estigui ben feta i envasada correctament, i es verifica que els paquets pesin `500` g de mitjana. 3. Venda. L’estratègia de venda i el preu dels paquets es determinen fent un estudi de mercat. Trieu UNA de les dues opcions (A o B) i responeu a les qüestions que s’hi plantegen. OPCIÓ A a) L’empresa necessita `300` litres d’oli, `700` kg de farina i `25` kg de sal. Escriviu aquesta informació juntament amb els preus per producte de cada proveïdor en forma matricial (deixant ben clar el que representen les files i les columnes) i calculeu mitjançant un producte de matrius el cost total de la comanda per cada proveïdor. Quin dels tres proveïdors és el més econòmic? [1,25 punts] b) Cada paquet de pasta té un cost total de producció de `0,5` €. Si l’empresa el ven per `1,1` €, es venen `1.000` paquets diaris de pasta. També han comprovat que la relació entre el preu de venda i el nombre de paquets venuts és lineal, de manera que per cada `0,01` € que s’apuja el preu de venda del paquet disminueix en `10` el nombre de paquets venuts. Anomenarem `x` el nombre de cops que apugem `0,01` € el preu de venda del paquet. Trobeu la funció que descriu el benefici diari en funció de `x` i calculeu el valor de venda del paquet que fa que el benefici sigui màxim. Quin és aquest benefici? [1,25 punts] OPCIÓ B a) L’empresa ha fet una gran comanda al primer proveïdor i s’ha gastat `1.320` €. Ha comprat el triple de farina que de sal. A més, la quantitat gastada en farina representa el `30 %` dels diners gastats en oli. Quina quantitat de cada producte ha comprat? [1,25 punts] b) En el control de qualitat, s’ha pres una mostra a l’atzar del pes en grams de 9 paquets de pasta i s’han obtingut els valors següents: Construïu un interval de confiança del `95 %` per a la mitjana del pes del paquet de pasta, suposant que aquest pes segueix una distribució normal amb una desviació típica de `4` g. A partir d’aquestes dades, raoneu breument si podem afirmar que l’etiqueta que diu que els paquets són de `500` g és incorrecta. [1,25 punts] |