|
Responeu a QUATRE de les sis qüestions següents. En les respostes, expliqueu sempre què voleu fer i per què. Cada qüestió val `2,5` punts. Podeu utilitzar calculadora, però no es permet l’ús de calculadores o altres aparells que poden emmagatzemar dades o que poden transmetre o rebre informació. Podeu utilitzar les pàgines en blanc (pàgines `14` i `15`) per a fer esquemes, esborranys, etc., o per a acabar de respondre a alguna qüestió si necessiteu més espai. En aquest últim cas, cal que ho indiqueu clarament al final de la pàgina de la qüestió corresponent. 1-Els beneficis o pèrdues diaris d’una nova empresa durant el primer any de funcionament són donats per la funció `B(x) = –x^2 + 260x – 12.000`, en què `x` representa el dia des de l’inici de l’activitat de l’empresa. a) Quin benefici o pèrdua va tenir l’empresa el dia `45`? Quins dies va obtenir un benefici de `4.000` €? [1 punt] b) Calculeu quin dia l’empresa va obtenir el benefici màxim i quin va ser aquest valor. Calculeu també entre quins dies l’empresa no va tenir pèrdues. [1,5 punts] 2-Una inversora vol invertir el seu capital en un banc especialitzat en criptomonedes que ofereix diferents dipòsits amb els interessos següents: — BTC (bitcoin): `15 %` anual. — ETH (ether): `10 %` anual. — LNK (link): `13 %` anual. La inversora vol invertir la mateixa quantitat en bitcoins que entre les altres dues criptomonedes juntes i vol obtenir un rendiment anual global d’un `13 %`. a) Quina ha de ser la relació entre la inversió en ethers i en links? [1,25 punts] b) Si sabem que la inversió total serà de 150.000 €, quina quantitat invertirà en cada criptomoneda? [1,25 punts] 3-L’Ona vol construir una capsa de cartró de base quadrada i oberta (sense tapa) per a posar-hi retoladors i colors, com la de la figura següent:  La capsa ha de tenir un volum de `4` litres. a) Expresseu l’alçària de la capsa (`y`) en funció de la longitud del costat de la base (`x`). [0,5 punts] b) L’Ona vol fer servir el mínim de cartró possible per a construir la capsa. Quants cen-tímetres ha de mesurar el costat de la base (`x`) perquè la superfície de la capsa sigui mínima? Quants centímetres ha de mesurar l’alçària (`y`)? Quina quantitat de cartró farà servir per a construir la capsa? [2 punts] 4-Un cinema disposa de dues sales en les quals es projecten dues pel·lícules diferents. La taula següent mostra el nombre de persones que han assistit a la projecció de cada pel·lí-cula la darrera setmana, agrupades per franges d’edat:  La informació de la taula anterior es registra amb la forma matricial $$ A=\begin{pmatrix} 122&620\\\ 930&433\\\ 384&281 \end{pmatrix} $$ a) Considerant la matriu $$ B=\begin{pmatrix} 1\\\ 1 \end{pmatrix}, $$ calculeu el producte `A · B`. Expliqueu el significat de la matriu obtinguda. Sabem que una entrada per a persones de menys de `18` anys costa `5` €, una entrada per a adults d’entre `18` i `65` anys costa `8,5` € i una entrada per a adults de més de `65` anys costa `6,5` €. Trobeu una matriu `C = (a` `b` `c)` de manera que el producte `C · A · B` doni els ingressos setmanals totals obtinguts per la venda d’entrades, i calculeu els ingressos corresponents a aquesta setmana. [1,5 punts] b) Al cap d’uns mesos, el registre setmanal és donat per la matriu $$ D=\begin{pmatrix} 84&23\\\ 338&x\\\ 256&408 \end{pmatrix}, $$ però hi ha un valor que s’ha esborrat, el del nombre de persones entre `18` i `65` anys que han assistit a la segona pel·lícula, i l’hem denotat per `x`. Calculeu el valor de `x` sabent que els ingressos totals d’aquella setmana van ser de `12.076` €. [1 punt] 5-Un centre esportiu té dues zones: la zona de la piscina (`A1`) i la zona del gimnàs (`A2`). Els abonats han de triar a quina de les dues zones (només una) volen accedir i també si volen anar al centre esportiu en horari de matí (opció `B1`) o en horari de tarda (opció `B2`). Si seleccionem un abonat del centre a l’atzar, sabem que la probabilitat que utilitzi la zona de la piscina és de `0,4` i la probabilitat que utilitzi el gimnàs és de `0,6`. D’altra banda, la probabilitat que estigui abonat en horari de matí, si sabem que utilitza la zona de la piscina, és de `0,55`, mentre que la probabilitat que estigui abonat en horari de matí, si sabem que utilitza el gimnàs, és de `0,45`. a) Quina és la probabilitat que l’individu estigui abonat en horari de matí? [1,25 punts] b) Si sabem que està abonat en horari de matí, quina és la probabilitat que utilitzi la zona de piscina? [1,25 punts] 6-Una empresa d’autobusos afirma que fa el trajecte entre l’aeroport i el centre de la ciutat en `30` minuts. Hem obtingut una mostra del temps, en minuts, que ha trigat en `10` trajectes escollits a l’atzar: a) Construïu un interval de confiança del `95 %` per a la mitjana del temps de trajecte, suposant que aquest temps segueix una distribució normal amb una desviació típica de `2` minuts. Nota: Recordeu que, si `Z `segueix una distribució normal `(0,1) ->P(-1,96<=z<=1,96)=0,95`. Recordeu també que l’interval de confiança per a la mitjana amb un nivell de confiança `gamma \in(0,1)` quan la variància `sigma^2` és coneguda és donat per . b) A partir del resultat obtingut en l’apartat anterior, podem afirmar que la informació que proporciona l’empresa d’autobusos és errònia? Justifiqueu la resposta. [1 punt] |