|
Responeu a QUATRE de les sis qüestions següents. En les respostes, expliqueu sempre què voleu fer i per què. Cada qüestió val `2,5` punts. Podeu utilitzar calculadora, però no es permet l’ús de calculadores o altres aparells que poden emmagatzemar dades o que poden transmetre o rebre informació. Podeu utilitzar les pàgines en blanc (pàgines `14` i `15`) per a fer esquemes, esborranys, etc., o per a acabar de respondre a alguna qüestió si necessiteu més espai. En aquest últim cas, cal que ho indiqueu clarament al final de la pàgina de la qüestió corresponent. 1-Dues companyies de taxi, `A` i `B`, ofereixen tarifes diferents. La companyia `A` ofereix un cost fix de `20` € més `0,4` € per kilòmetre recorregut, mentre que el preu de la companyia `B` segueix la funció `g(x) = 0,01x^2 + 0,1x + 10`, en què `x` representa el nombre de kilòmetres recorreguts. a) Quina de les dues companyies ofereix la tarifa més econòmica si fem un recorregut de `10` km? I si en fem un de `80` km? Calculeu la diferència de preu en cada cas. Hi ha cap cost fix en la tarifa de la companyia `B` només pel sol fet de pujar al taxi? [1 punt] b) Determineu per a quin nombre de kilòmetres recorreguts les dues tarifes coincidei-xen. Si considerem només els trajectes inferiors a aquesta quantitat, per a quin nombre de kilòmetres la diferència de preu entre una tarifa i l’altra és màxima? Quina és aquesta diferència màxima de preu? [1,5 punts] 2-Una empresa de mobles disposa de tres fàbriques que produeixen un model de sofà determinat. El mes passat es van fabricar un total de `1.260` unitats d’aquest model i sabem que la segona fàbrica va produir tants sofàs com les altres dues juntes. a) Amb aquesta informació, podem determinar quants sofàs va produir cadascuna de les fàbriques? Justifiqueu la resposta. A continuació, calculeu, només amb aquesta informació, quants sofàs va produir la segona fàbrica. [1,25 punts] b)També sabem que un `10` % dels sofàs produïts per la primera fàbrica, un `30` % dels produïts per la segona i un `20` % dels produïts per la tercera eren de color gris, i que en total es van fabricar `284` sofàs d’aquest color. Trobeu quants sofàs va produir cada fàbrica el mes passat. [1,25 punts] 3-Una pagesa contracta un conductor perquè porti un tractor fins a un poble que es troba a `300` km de distància. Sabem que el gasoil que fa servir el tractor costa `1,96` € per litre i que el conductor cobra `14,70` € l’hora. Suposem que el conductor farà tot el trajecte a una velocitat constant i que el consum de gasoil (en litres per hora), en funció de la velocitat `x` (en kilòmetres per hora), és donat per la funció `G(x)=5+x^2/98`. a) Calculeu el temps que el conductor trigarà a fer el viatge i el cost total del viatge si el tractor fa tot el recorregut a `40` km/h (la velocitat màxima permesa per a aquest tipus de vehicle). Comproveu que la funció que dona el cost total del viatge en funció de la velocitat del tractor es pot expressar com a `C(x)=(7350)/x+6x`. [1,25 punts] b) Calculeu quina és la velocitat que fa que el cost total del viatge sigui mínim. Quin és aquest cost? [1,25 punts] 4-Diem que una matriu és màgica si la suma dels elements de cada fila i de cada columna té com a resultat en tots els casos el mateix valor, que s’anomena constant màgica. El Martí ha trobat una manera de crear matrius màgiques triant tres nombres qualssevol i multiplicant-los per les matrius següents: $$ A=\begin{pmatrix} 1&-1&0\\\ -1&0&1\\\ 0&1&-1 \end{pmatrix}, B=\begin{pmatrix} 0&-1&1\\\ 1&0&-1\\\ -1&1&0 \end{pmatrix}, C=\begin{pmatrix} 0&3&0\\\ 1&1&1\\\ 2&-1&2 \end{pmatrix} $$ El Martí proposa als seus amics que cadascú construeixi la seva matriu màgica particular a partir del dia del seu aniversari, del mes del seu aniversari i de la seva edat. a) Sabent que el Martí va néixer el `10` de març i que té 18 anys, calculeu `10 · A + 3 · B + 18 · C`. Comproveu que la matriu resultant és màgica i indiqueu quina és la seva constant màgica (el valor comú de la suma de les files i les columnes). [1,25 punts] b) El Martí ha calculat la matriu màgica del seu pare, que fa l’aniversari el `8` de setembre, i ha obtingut que la seva constant màgica és `153`. Quina edat té el pare del Martí? [1,25 punts] 5-El Guiu i el Roc són uns grans aficionats al cinema i miren moltes pe?lícules de la plataforma a la qual estan subscrits. Els agrada tant que, si agafem una pe?lícula de la plataforma a l’atzar, la probabilitat que el Guiu l’hagi vista és de `0,5`, la probabilitat que el Roc l’hagi vista és de `0,6` i la probabilitat que l’hagin vista tots dos és de `0,25`. a) Si triem una pel·lícula a l’atzar, calculeu la probabilitat que almenys un dels dos l’hagi vista. Calculeu també la probabilitat que l’hagi vista el Roc però no el Guiu. [1,5 punts] b) Si triem una pel·lícula a l’atzar, calculeu la probabilitat que el Guiu l’hagi vista si sabem que almenys un dels dos l’ha vista. [1 punt] 6-Volem saber el percentatge de persones que estarien a favor de la construcció d’un poliesportiu municipal en una població determinada. Prenem una mostra aleatòria de `350` persones, `218` de les quals es manifesten a favor de la proposta i la resta, en contra a) Doneu l’estimació puntual de la proporció i del percentatge de persones que estan a favor de la construcció del poliesportiu. [1 punt] b) Escriviu un interval de confiança del `95 %` per al percentatge de persones que estan a favor de la construcció del poliesportiu en aquesta població. Nota: Recordeu que, si `Z` segueix una distribució normal `(0, 1), P(–1,96 = Z = 1,96) = 0,95`. Recordeu també que, per a mostres grans, l’interval de confiança per a una proporció amb un nivell de confiança `gamma in (0, 1)` . |