|
Responeu a QUATRE de les sis qüestions següents. En les respostes, expliqueu sempre què voleu fer i per què.
1- Considereu la funció `f(x) = –2 + 10 (x – 1) ln x`, definida per `a x > 0`. a) Comproveu que `f(x)` té una arrel a l’interval `[1, 1'5]` i busqueu un interval d’una dècima de longitud que també contingui aquesta mateixa arrel. [0,75 punts] b) Sense calcular els punts crítics, justifiqueu que `f(x)` és decreixent a l’interval `(0, 1)` i creixent a `(1, +\infty)`. Quins màxims i mínims té aquesta funció? [1 punt] c) Calculeu `\lim_{x\to 0^+ }f(x)` i `\lim_{x\to +\infty} f(x)`, i feu un esbós de la gràfica d’aquesta funció. [0,75 punts] SOLUCIÓ 2-Considereu les matrius, $$ P=\begin{pmatrix} 2&1&-1\\\ 2&1&0\\\ 1&0&1 \end{pmatrix}, Q=\begin{pmatrix} 2&2&2\\\ 2&2&2\\\ 2&2&2 \end{pmatrix} i P=\begin{pmatrix} 1&2&3\\\ 1&1&1\\\ 3&2&1 \end{pmatrix} $$ a) Decidiu si la matriu `P` és invertible i, en cas de ser-ho, calculeu la seva inversa. Expliqueu detalladament el procediment seguit. [1,25 punts] b) Calculeu una matriu `X` de `3` files i `3` columnes que compleixi `P X + Q = 2R`. 1,25 punts] *|SOLUCIÓ 3-Considereu les paràboles `y = f_a(x)`, amb `f_a(x) = ax^2 + 2x + 5 – a`, on `a` és un paràmetre real a) Determineu el valor del paràmetre `a` per al qual la recta tangent a `y = f_a(x)` en el punt d’abscissa `x = 1` passa pel punt `(2, 13)`. [1 punt] b) Calculeu els punts de tall de les paràboles `y = f_1(x)` i `y = f_3(x)`. [0,5 punts] c) Calculeu l’àrea de la regió situada entre les dues paràboles `y = f_1(x)` i `y = f_3(x)`. [1 punt] *|SOLUCIÓ 4-La Rut fa servir el mètode següent per a fer els problemes de matemàtiques: tira un dau equilibrat i, si el resultat és com a màxim `4`, pensa i resol el problema ella mateixa; si el resultat és `5` o `6`, busca la solució del problema per Internet i la copia. Quan és ella qui ha pensat la solució, la resposta és correcta en el `75 %` dels casos; quan copia la solució d’Internet, la resposta és correcta només en el `40 %` dels casos. a) Quina és la probabilitat que la solució d’un problema respost seguint aquest mètode sigui correcta? [0,75 punts] b) Quina és la probabilitat que un problema l’hagi resolt la Rut si sabem que la solució és correcta? [0,75 punts] c) Demà la Rut ha d’entregar `5` problemes de matemàtiques. Quina és la probabilitat que n’hi hagi almenys `4` de correctes? [1 punt] SOLUCIÓ 5-En Carles vol construir un decorat per a l’obra de teatre de final de curs en forma d’un rectangle i dos semicercles, tal com es mostra a la figura següent:  a) Determineu el perímetre i l’àrea del decorat que s’ha de construir en funció de `x` i de `y`. [1 punt] b) Per a revestir el perímetre del decorat, en Carles té material per a cobrir fins a 10 m. Si el vol gastar tot, quines seran les mides del decorat d’àrea màxima que podrà construir? Quin és el valor d’aquesta àrea? [1,5 punts] *|SOLUCIÓ 6- Considereu les rectes `r:(x-5)/4=(y-4)/3=(z-3)/(-1)` i $$ s:\begin{cases} x=4+2k\\ y=3+k\\ z=-1 \end{cases} $$ a) Quina és la seva posició relativa? Calculeu l’equació implícita d’un pla `pi` que sigui parl·lel a les dues rectes i que passi per l’origen de coordenades. [1,25 punts] b) Calculeu l’equació de la recta `t` que talla les dues rectes `r` i `s` perpendicularment. [1,25 punts] SOLUCIÓ |