(2024-juny TEI-5-2) Considereu les matrius,
$$
P=\begin{pmatrix}
2&1&-1\\\
2&1&0\\\
1&0&1
\end{pmatrix},
Q=\begin{pmatrix}
2&2&2\\\
2&2&2\\\
2&2&2
\end{pmatrix},
R=\begin{pmatrix}
1&2&3\\\
1&1&1\\\
3&2&1
\end{pmatrix}
$$
a) Decidiu si la matriu `P` és invertible i, en cas de ser-ho, calculeu la seva inversa. Expliqueu detalladament el procediment seguit.
[1,25 punts]

b) Calculeu una matriu `X` de `3` files i `3` columnes que compleixi `P X + Q = 2R`.
[1,25 punts]


Solució:
    a)
      Perquè una matriu tingui inversa cal que el seu determinant sigui diferent de `0`.

      $$
      \begin{vmatrix}
      2&1&-1\\\
      2&1&0\\\
      1&0&1
      \end{vmatrix}=2+0+0-(-1+0+2) = 1 \ne 0
      $$

      Sí que té inversa

      Per trobar-la, `P^-1`. En primer lloc calculem la matriu transposta de `P`

      $$
      P^t=\begin{pmatrix}
      2&2&1\\
      1&1&0\\
      -1&0&1
      \end{pmatrix}
      $$

      Ara calculem la matriu d'adjunts.
      $$
      P^{t^*}=\begin{pmatrix}
      \begin{vmatrix}1&0\\0&1\end{vmatrix}&-\begin{vmatrix}1&0\\-1&1\end{vmatrix}&\begin{vmatrix}1&1\\-1&0\end{vmatrix}\\
      -\begin{vmatrix}2&1\\0&1\end{vmatrix}&\begin{vmatrix}2&1\\-1&1\end{vmatrix}&-\begin{vmatrix}2&2\\-1&0\end{vmatrix}\\
      \begin{vmatrix}2&1\\1&0\end{vmatrix}&-\begin{vmatrix}2&1\\1&0\end{vmatrix}&\begin{vmatrix}2&2\\1&1\end{vmatrix}
      \end{pmatrix}
      $$
      $$
      P^{t^*}=\begin{pmatrix}
      1&-1&1\\
      -2&3&-2\\
      -1&1&0
      \end{pmatrix}
      $$

      Això cal dividir-ho pel determinant, però com val `1` aquesta matriu ja és l'inversa.

      $$
      P^{-1}=\begin{pmatrix}
      1&-1&1\\
      -2&3&-2\\
      -1&1&0
      \end{pmatrix}
      $$


    b)
      `P X + Q = 2R`


      `P X = 2R-Q`


      `P^-1·P X = P^-1·(2R-Q)`


      `X = P^-1·(2R-Q)`

      $$
      2R-Q=2·\begin{pmatrix}
      1&2&3\\
      1&1&1\\
      3&2&1
      \end{pmatrix}-
      \begin{pmatrix}
      2&2&2\\
      2&2&2\\
      2&2&2
      \end{pmatrix}=
      \begin{pmatrix}
      2&4&6\\
      2&2&2\\
      6&4&2
      \end{pmatrix}-
      \begin{pmatrix}
      2&2&2\\
      2&2&2\\
      2&2&2
      \end{pmatrix}=
      \begin{pmatrix}
      0&2&4\\
      0&0&0\\
      4&2&0
      \end{pmatrix}
      $$
      $$
      P^{-1}·(2R-Q)=\begin{pmatrix}
      1&-1&1\\
      -2&3&-2\\
      -1&1&0
      \end{pmatrix}·
      \begin{pmatrix}
      0&2&4\\
      0&0&0\\
      4&2&0
      \end{pmatrix}=
      \begin{pmatrix}
      4&4&4\\
      -8&-8&-8\\
      0&-2&-4
      \end{pmatrix}
      $$
      $$
      X=\begin{pmatrix}
      4&4&4\\
      -8&-8&-8\\
      0&-2&-4
      \end{pmatrix}
      $$