(2024-juny TEI-5-1) Considereu la funció `f(x) = –2 + 10 (x – 1) ln x`, definida per a `x > 0`. a) Comproveu que `f(x)` té una arrel a l’interval `[1, 1'5]` i busqueu un interval d’una dècima de longitud que també contingui aquesta mateixa arrel. [0,75 punts] b) Sense calcular els punts crítics, justifiqueu que `f(x)` és decreixent a l’interval `(0, 1)` i creixent a `(1, +\infty)`. Quins màxims i mínims té aquesta funció? [1 punt] c) Calculeu `\lim_{x\to 0^+ }f(x)` i `\lim_{x\to +\infty} f(x)`, i feu un esbós de la gràfica d’aquesta funció. [0,75 punts] Solució: a) La funció, `f(x) = –2 + 10 (x – 1) ln x` és contínua per `x>0` (recordem que `ln x` només està definida per `x>0`, la qual cosa fa que en particular sigui contínua a `[1, 1'5]`. Per veure que té una arrel en aquest interval calcularem `f(1)` i `f(1,5)` si tenen signes contraris, pel teorema de Bolzano hi haurà una arrel a l'interval. `f(1) = –2 + 10 (1 – 1) ln 1=-2+10·0·0=-2 <0` `f(1,5) = –2 + 10 (1,5 – 1) ln 1,5=-2+10·0,5·ln(1,5) = 0,027326>0` Tenim un interval que compleix les condicions del teorema de Bolzano la qual cosa fa que tingui una arrel al mig. Per trobar l'arrel amb una precisió d'una dècima, calculem: `f(1,4) = –2 + 10 (1,4 – 1) ln 1,4=-2+10·0,4·ln(1,4) = -0,654111053515148<0` La qual cosa vol dir que l'arrel es troba a l'interval `(1'4,1'5)` b) Calculem `f'(x)=10ln(x)+10(x-1)·1/x=10(ln(x)+(x-1)/x)` La funció `ln(x)` entre `(0,1)` és negativa i la funció `(x-1)/x` també, ja que el denominador, `x` és positiu i el numerador, `x-1` és negatiu. `f(x)` és decreixent entre `(0,1)` ja que `f'(x)<0` La funció `ln(x)` entre `(1,+infty)` és positiva i la funció `(x-1)/x` també, ja que el denominadorm `x` és positiu i el numerador, `x-1` és positiu. `f(x)` és creixent entre `(1,+infty)` ja que `f'(x)>0` Com que la funció és contínua en tot el seu domini, `(0,+infty)` i passa de decreixent a creixent a `x=1` hi tenim un mínim. I, evidentment, no hi pot haver cap més mínim ni cap màxim. A `(1,-2)` tenim un mínim. Recordem que `f(2)` l'hem calculat a l'apartat a. c) `\lim_{x\to +\infty} –2 + 10 (x – 1) ln x=-2+infty·(+infty)=+infty` `\lim_{x\to 0^+ }–2 + 10 (x – 1) ln x =-2+10·(0-1)·(-infty)=+infty` Per fer l'esbós amb tot le que tenim veiem que hi ha una altra arrel entre `(0,1)`