(2024-juny TEI-5-3) Considereu les parāboles `y = f_a(x)`, amb `f_a(x) = ax^2 + 2x + 5 – a`, on `a` és un parāmetre real

a) Determineu el valor del parāmetre `a` per al qual la recta tangent a `y = f_a(x)` en el punt d’abscissa `x = 1` passa pel punt `(2, 13)`.
[1 punt]

b) Calculeu els punts de tall de les parāboles `y = f_1(x)` i `y = f_3(x)`.
[0,5 punts]

c) Calculeu l’ārea de la regiķ situada entre les dues parāboles `y = f_1(x)` i `y = f_3(x)`.
[1 punt]


Soluciķ:
    a)
      En primer lloc calculem:

        `f_a(1) = a + 2 + 5 – a=7`

      La recta tangent, `y` ha de passar per aquest punt `=> (1,7)`


      Calculem `f_a'(x)=2ax+2 => f_a'(1)=2a1+2=2a+2`

      Equaciķ de la recta tangent, `m=2a+2` i passa pel punt `(2,13)`. Es podia agafar `(1,7)`:

        `y-13=(2a+2)(x-2)`

        `y=(2a+2)(x-2)+13`

        `y=(2a+2)x-(2a+2)2+13`

        `y=(2a+2)x-4a-4+13`

        `y=(2a+2)x-4a+9`

        `y(1)=2a+2-4a+9`

        `y(1)=-2a+11`

      I aixō, com hem vist a dalt ha de ser `7`

        `-2a+11=7`

        `-2a=7-11`

        `-2a=-4`

        `a=(-4)/(-2)=2`



    b)
        `f_1(x) = x^2 + 2x + 5 – 1=x^2 + 2x + 4`


        `f_3(x) = 3x^2 + 2x + 5 – 3=3x^2 + 2x +2`


      Per trobar els punts de tall:

        `3x^2 + 2x +2=x^2 + 2x + 4`

        `2x^2-2=0`

        `2x^2=2`

        `x^2=1`

        `x=\sqrt{1}= pm 1`

        `f_1(-1) =(-1)^2 + 2ˇ(-1) + 4 = 3`


        `f_1(1) =1^2 + 2ˇ1 + 4 = 7`


      Els punts de tall son:

      `(-1,3)` i `(1,7)`


    c)
      Ārea sota les parāboles:

        `A=\\int_-1^1 (f_3(x)-f_1(x)) dx|=|\int_-1^1 (3x^2 + 2x +2)-(x^2 + 2x + 4)) dx| = |\int_-1^1 (2x^2 -2) dx|`


        `A=|[2/3x^3-2x]_(-1)^1|=|(2/3-2)-(-2/3+2)|=|(2/3-2)-(-2/3+2)|=|4/3-4|=|-8/3|=8/3u^2`