(2024-juny TEI-5-5) En Carles vol construir un decorat per a l’obra de teatre de final de curs en forma d’un rectangle i dos semicercles, tal com es mostra a la figura següent:

a) Determineu el perímetre i l’àrea del decorat que s’ha de construir en funció de `x` i de `y`.
[1 punt]

b) Per a revestir el perímetre del decorat, en Carles té material per a cobrir fins a 10 m. Si el vol gastar tot, quines seran les mides del decorat d’àrea màxima que podrà construir? Quin és el valor d’aquesta àrea?
[1,5 punts]


Solució:

    a)
      Perímetre serà el dels dos semicercles més els dos costats del rectangle:

        `P_(sc_1)=(2pix)/2=pix` `P_(sc_1)=(2piy)/2=piy` `P_r=2x+2y`

        Perímetre `=P(x,y)= (pi+2)(x+y)`


      Àrea serà la suma de les àrees dels dos semicercles més la del rectangle:

        `A_(sc_1)=(pix^2)/2=pix` `A_(sc_1)=(piy^2)/2=piy` `A_r=2x·2y=4xy`


        Àrea `=A(x,y)=pi/2(x^2+y^2)+4xy`


    b)
        `P(x,y)= (pi+2)(x+y)=10`

        `x+y=10/(pi+2)`

        `y=10/(pi+2)-x`

      Ho sustituïm a la funció Àrea:


        Àrea `=A(x)=pi/2[x^2+(10/(pi+2)-x)^2]+4x(10/(pi+2)-x)`


        `A(x)=pi/2[x^2+(10/(pi+2)-x)^2]+(40x)/(pi+2)-4x^2`


        O derivem:


        `A'(x)=pi/2[2x-2(10/(pi+2)-x)]+40/(pi+2)-8x`


        `A'(x)=pi/2[2x-20/(pi+2)+2x]+40/(pi+2)-8x`


        `A'(x)=pi/2[4x-20/(pi+2)]+40/(pi+2)-8x`


        `A'(x)=2pix-(10pi)/(pi+2)+40/(pi+2)-8x`


        `A'(x)=(2pi-8)x-(10pi-40)/(pi+2)`


        `(2pi-8)x-(10pi-40)/(pi+2)=0`


        `x=(10pi-40)/((2pi-8)·(pi+2))=0,972` `m`

      Calculem la segona derivada `A''(x)=2pi-8 = -1,716814<0 =>` Hi ha un màxim.


      `y=10/(pi+2)-x=10/(pi+2)-(10pi-40)/((2pi-8)·(pi+2)) = 0,972`


      Finalment substituïm el valor `x=0,972` a la funció `A(x)=pi/2[x^2+(10/(pi+2)-x)^2]+(40x)/(pi+2)-4x^2`


      `A(0,972)=pi/2[0,972^2+(10/(pi+2)-0,972)^2]+(40·0,972)/(pi+2)-4·0,972^2=6,747` `m^2`


      I per acabar de tenir totes les dimensions, cal trobar el que mesura els costats de la part rectangular:


      `2x=2·0,972 = 1,944`