(2024-juny TEI-5-6) Considereu les rectes `r:(x-5)/4=(y-4)/3=(z-3)/(-1)` i
$$
s:\begin{cases}
x=4+2k\\
y=3+k\\
z=-1
\end{cases}
$$

a) Quina és la seva posició relativa? Calculeu l’equació implícita d’un pla `pi` que sigui parl·lel a les dues rectes i que passi per l’origen de coordenades.
[1,25 punts]

b) Calculeu l’equació de la recta `t` que talla les dues rectes `r` i `s` perpendicularment.
[1,25 punts]



Solució:
    a)
      De la primera recta tenim un punt `P_1=(5,4,3)` i un vector director `v_1=(4,3,-1)`


      I de la segona `P_2(4,3,-1)` i `v_2(2,1,0)`


      Com `v_1` i `v_2` no són proporcionals, no són rectes paral·leles ni la mateixa. Per la qual cosa o es creuen o es tallen.

      Si es tallessin els vectors `v_1`, `v_2` i `\vec{P_1P_2}=(5,4,3)-(4,3,-1)=(1,1,4)` haurien de ser linealment dependents, per la qual cosa si calculem el seu determinant i donés `0` ho serien.

      $$
      \begin{vmatrix}
      1&1&4\\\
      4&3&-1\\\
      2&1&0
      \end{vmatrix}=0-2+16-(24-1+0) = -9 \ne 0 =>
      $$
      Els tres vectors són linealment independents `=>` dues rectes que es creuen.


      Per contestar a la segona pregunta, per tenir un pla paral·lel a les dues rectes tindrà com a vectors directors, `v_1=(4,3,-1)` i `v_2(2,1,0)` i passarà pel `(0,0,0)`. Així podem calcular l'equació del pla:

      $$
      \begin{vmatrix}
      (x-0)&(y-0)&(z-0)\\\
      4&3&-1\\\
      2&1&0
      \end{vmatrix}=
      \begin{vmatrix}
      x&y&z\\\
      4&3&-1\\\
      2&1&0
      \end{vmatrix}=0-2y+4z-(6z-x+0)=
      $$


      `x-2y-2z=0`



    b)
      La nostra recta, `t`, tindrà com a vector director un vector perpendicular a les dues rectes que és l'associat al pla trobat en l'apartat a.

      `v_t=(1,-2,2)`


      La nostra recta passarà per un punt, `P_s` i `P_t` de cadascuna de les dues rectes, `r` i `s` que el vector resultant ha de ser perpendicular als dos vectors directors de cadascuna de les rectes. Per fer-ho busquem un punt genèric de cada recta:

      `r:(x-5)/4=(y-4)/3=(z-3)/(-1)`

      $$
      \begin{cases}
      x=5+4t\\
      y=4+3t\\
      z=3-t
      \end{cases}
      $$
      `P_s=(5+4t,4+3t, 3-t)`


      I l'altra recta:
      $$
      s:\begin{cases}
      x=4+2k\\
      y=3+k\\
      z=-1
      \end{cases}
      $$
      `P_t=(4+2k,3+k,-1)`


      I el vector que va d'una a l'altra:

      `(4+2k,3+k,-1)-(5+4t,4+3t, 3-t)=(-1+2k-4t,-1+k-3t,-4+t)`


      Hem de trobar els valors de, `k` i `t` que fan que siguin perpendiculars amb els vectors directors de la recta. Això ens donarà un sistema de dues equacions amb dues incògnites que ens permetrà trobar-los.


        `(-1+2k-4t,-1+k-3t,-4+t)·(4,3,-1)=-4+8k-16t-3+3k-9t+4-t=11k-26t-3=0`


        `(-1+2k-4t,-1+k-3t,-4+t)·(2,1,0)=-2+4k-8t-1+k-3t=5k-11t-3=0`


      I el sistema a resoldre és.


        `11k-26t=3`

        `5k-11t=3`


      De la segona tenim: `k=(3+11t)/5` Ho substituïm a la primera.

        `11(3+11t)/5-26t=3`

        `33+121t-130t=15`

        `-9t=-18`

        `t=(-18)/(-9)=2`

      i

        `k=(3+11·2)/5 = 5`


      O sigui el punt per qual passa la nostra recta de la primera recta és:


        `(5+4t,4+3t, 3-t)=(5+4·2,4+3·2, 3-2)=(13,10, 1)`


      En el principi teníem el vector director que és l'associat del pla `v_t=(1,-2,2)` i amb el vector de posició tenim l'equació de la recta perpendicular a `s` i `t`:

      `(x-13)/1=(y-10)/-2=(z-1)/2`