|
L’examen consta de QUATRE exercicis obligatoris. Cada exercici val 2,5 punts. Feu els exercicis 1, 2 i 3 responent a TOTES les qüestions que s’hi plantegen. A l’exercici 4, trieu UNA de les dues opcions (A o B) proposades. En totes les respostes, expliqueu sempre què voleu fer i per què. Cal que la redacció de la resposta es faci de manera coherent, amb correcció i claredat, emprant la notació i el vocabulari matemàtic adequats i expressant la solució de manera clara. Podeu utilitzar les pàgines en blanc del final del quadern per a fer esquemes, esborranys, etc., o per a acabar de respondre a algun exercici si necessiteu més espai. En aquest últim cas, cal que ho indiqueu clarament al final de la pàgina de l’exercici corresponent. Podeu utilitzar calculadora, però no es permet l’ús de calculadores o altres aparells capaços d’emmagatzemar dades o de transmetre o rebre informació. 1-Considereu la funció `f(x)=(5x)/(x^2+1)` 1.1. Estudieu-ne el domini i els intervals de creixement i decreixement, així com els possibles màxims i mínims locals. [1 punt] 1.2. Calculeu les equacions de totes les asímptotes d’aquesta funció (si en té) i dibuixeu un esbós de la seva gràfica. [0,75 punts] 1.3. Calculeu l’equació de la recta normal (és a dir, la recta perpendicular a la tangent) a la corba `y = f(x)` en el punt d’abscissa `x = 2`. [0,75 punts] SOLUCIÓ 2-Considereu el sistema d’equacions següent: $$ \begin{cases} 2x+ky+z=3\\ -x+2y+2z=1\\ x+y+z=2 \end{cases} $$ on `k` és un paràmetre real. 2.1. Discutiu el sistema en funció del paràmetre `k`. [1 punt] 2.2. Resoleu el sistema per a tots els valors de `k` i comproveu que, per a `k ne 1`, la solució no depèn de `k`. [1 punt] 2.3. Interpreteu geomètricament el resultat dels apartats anteriors. [0,5 punts] SOLUCIÓ 3-Es vol construir un parc eòlic al Solsonès format per `10` aerogeneradors. L’empresa que els construirà està dissenyant les pales segons l’esquema següent, on `x` i `f(x)` estan mesurats en metres (el dibuix no està a escala):  S’ha calculat que cadascun dels `10` aerogeneradors tindrà una potència de `100` `MW`. Degut a diversos factors, cadascun té una probabilitat del `10 %` d’estar aturat, independentment de la resta d’aerogeneradors. Es vol construir un parc eòlic al Solsonès format per `10` aerogeneradors. L’empresa que els construirà està dissenyant les pales segons l’esquema següent, on `x` i `f(x)` estan mesurats en metres (el dibuix no està a escala): 3.1. Quina és la probabilitat que s’arribi als `1000` `MW` de potència total al parc? [0,75 punts] 3.2. Quina és la probabilitat que la potència total del parc superi els `150` `MW`? [0,75 punts] 3.3. Calculeu l’àrea de les pales d’un d’aquests aerogeneradors (part ombrejada al gràfic). [1 punt] SOLUCIÓ 4-L’Aina vol construir una capsa de cartró amb forma de prisma rectangular amb tapa, per guardar-hi la tauleta i el carregador. Trieu UNA de les dues opcions (A o B) i responeu a les qüestions que s’hi plantegen. Indiqueu a la portada de l’examen l’opció escollida. OPCIÓ A L’Aina construirà la capsa a partir d’un cartró rectangular de `80` `cm` `×` `50` `cm`. A la figura següent es mostra el desplegament de la capsa; les zones ratllades són les parts que l’Aina retallarà i retirarà per tal de poder-la muntar:  4.1. Comproveu que el volum de la capsa resultant és `V(x) = 2x^3 – 130x^2 + 2000x`, on `x` és la longitud del costat del quadrat que cal retallar dels cantons per a poder-la muntar. [1 punt] 4.2. Calculeu les dimensions de la capsa per tal que el seu volum sigui màxim. Quin és aquest volum màxim? [1,5 punts] SOLUCIÓ OPCIÓ B L’Aina vol fer un croquis en 3D de la capsa utilitzant un programa informàtic. Per a començar, situa un costat de la tapa des del vèrtex `A(1, 1, 1)` fins al vèrtex `B(4, 1, 5)`, i l’altre costat de la tapa des del vèrtex `A` fins al vèrtex `C(1, 10, 1)`. 4.1. Quines són les coordenades del quart vèrtex de la tapa? Calculeu les longituds dels dos costats de la tapa. [1 punt] 4.2. Sabent que els altres quatre vèrtexs de la capsa estan situats al pla `pi: –4x + 3z = 24`, calculeu les coordenades d’un d’aquests vèrtexs (qualsevol) i l’alçària de la capsa. [1,5 punts] SOLUCIÓ |