1- Considereu la funció `f(x)=(5x)/(x^2+1)` 1.1. Estudieu-ne el domini i els intervals de creixement i decreixement, així com els possibles màxims i mínims locals. [1 punt] 1.2. Calculeu les equacions de totes les asímptotes d’aquesta funció (si en té) i dibuixeu un esbós de la seva gràfica. [0,75 punts] 1.3. Calculeu l’equació de la recta normal (és a dir, la recta perpendicular a la tangent) a la corba `y = f(x)` en el punt d’abscissa `x = 2`. [0,75 punts] 1.1 i 1.2 Domini, com és un quoacient de polinomis serà a ttos els reals excepte els valors que facin que el denominador sigui `0`. `x^2+1=0 => x^2=-1 => x=\sqrt{-1}` que no té solució per la qual cosa el Domini seran tots els `R` Això fa que no hi hagi asímptotes verticals i mirem asímptotes horitzontals: `\lim_{x\to infty} (5x)/(x^2+1)=0` ja que el grau de dalt és més petit que el de baix `=>` Hi ha asímptota horitzontal (no n'hi ha d'oblíqües) `y=0` Per contestar a al pregunta dels intervals de creixement i decreixement primer calcularem els possibles màxoms i mínims.. `f'(x)=(5·(x^2+1)-5x·2x)/(x^2+1)^2=(5x^2+5-10x^2)/(x^2+1)^2=(-5x^2+5)/(x^2+1)^2=0` `-5x^2+5=0 => -x^2+1=0 => x^2=1 => x=\sqrt{1} => x=pm1` Per veure si són maxims o mínims podem calcular les imatges `f'(-2)=(-5·(-2)^2+5)/((-2)^2+1)^2 = -0,6<0` `f'(0)=(-5·0^2+5)/(0^2+1)^2 = 5>0` `f'(2)=(-5·2^2+5)/(2^2+1)^2 = -0,6` `f'(-2)<0` `f'(-1)=0` `f'(0)>0` `f'(1)=0` `f'(2)<0` decreixent creixent decreixent mínim màxim `f(-2)=-2` `f(-1)=-5/2` `f(0)=0` `f(1)=5/2` `f(2)=2` `(-infty,-1)` `(0,-5/2)` `(-1,1)` `(1,5/2)` `(1,+infty)` 1.3 Per trobar la recta normal demanada cal trobar la derivada a `x=2`. Calculem el pendent de la tangent. `f'(2)=-3/5`. Com que ens demanen la recta normal, el pendent serà `m=5/3`i calculem la imatge`f(2)=2`. Per trobar l'equació demanada podem fer servir l'equació punt-pendent: `y-y_0=m(x-x_0)` `y-2=5/3(x-2)` `y=5/3x-10/3+2` `y=5/3x-4/3`