4A- L’Aina vol construir una capsa de cartró amb forma de prisma rectangular amb tapa, per guardar-hi la tauleta i el carregador. L’Aina construirà la capsa a partir d’un cartró rectangular de `80` `cm` `×` `50` `cm`. A la figura següent es mostra el desplegament de la capsa; les zones ratllades són les parts que l’Aina retallarà i retirarà per tal de poder-la muntar: 4.1. Comproveu que el volum de la capsa resultant és `V(x) = 2x^3 – 130x^2 + 2000x`, on `x` és la longitud del costat del quadrat que cal retallar dels cantons per a poder-la muntar. [1 punt] 4.2. Calculeu les dimensions de la capsa per tal que el seu volum sigui màxim. Quin és aquest volum màxim? [1,5 punts] 4.1. Això és una capsa de sabates que mesura `x` `cm` d'altura i les dimensions del rectangle base son. Vertical: `50-2x` `cm` i horitzontal: `(80-2x)/2=40-x`. Si ho multipliquem tot tindrem el volum en funció d'`x`. `V(x)=x·(50-2x)·(40-x)=x(2000-50x-80x+2x^2)=2x^3-130x^2+2000x` 4.2. Ho derivem: `V'(x)=6x^2-260x+2000` Ho igualem a `0` `6x^2-260x+2000=0` `3x^2-130x+1000=0` `x=(130 pm\sqrt{130^2-4·3·1000})/6=(130 pm\sqrt{4900})/6=(130 pm70)/6` `x_1=200/6=100/3` `x_2=60/6=10` Calculem la segona derivada, `V''(x)=12x-260` Substituïm pels dos valors d'`x`. `V''(100/3)=12·100/3-260 = 140>0` Mínim `V''(10)=12·10-260 = -140<0` Màxim Calculem el volum per `x=10` `V(10)=2·10^3-130·10^2+2000·10 = 9000` `cm^3` I les dimensions són: `x=10` `cm` `50-2x=50-2·10 = 30` `cm` `40-x=40-10=30` `cm` El problema no ho demana, però si observem veiem que per `x=0` el volum ha de ser `0`, ja que l'altura seria `0`, però si `x=25` el volum també seria `0`ja que la part vertical de la base de la capsa també mesuraria `0`. Llavors ens preguntem si el valor trobat pel mínim, `x=100/3` que és més gran que aquest `25` té algun sentit, evidentment no. El domini d'aquesta funció està entre `(0,25)` per `x=100/3` el Volum surt negatiu que en el nostre problema, és absurd. Si grafiquem la funció entendrem més què passa: