|
2- Considereu el sistema d’equacions següent: $$ \begin{cases} 2x+ky+z=3\\ -x+2y+2z=1\\ x+y+z=2 \end{cases} $$ on `k` és un paràmetre real. 2.1. Discutiu el sistema en funció del paràmetre `k`. [1 punt] 2.2. Resoleu el sistema per a tots els valors de `k` i comproveu que, per a `k ne 1`, la solució no depèn de `k`. [1 punt] 2.3. Interpreteu geomètricament el resultat dels apartats anteriors. [0,5 punts] 2.2. Matriu ampliada del sistema `S'`: $$\begin{pmatrix}2&k&1&3\\-1&2&2&1\\1&1&1&2\end{pmatrix}$$ Matriu del sistema `S`: $$\begin{pmatrix}2&k&1\\-1&2&2\\1&1&1\end{pmatrix}$$ $$\begin{vmatrix}-1&2\\1&1\end{vmatrix}=-1-2=-3 \ne 0 =>$$ El rang `>=2` Calculem el determinant de la matriu del sistema en funció de `k` $$\begin{vmatrix}2&k&1\\-1&2&2\\1&1&1\end{vmatrix}=4+2k-1-(2+4-k)=3k-3=0 => k=1$$ Si `k=1` rang `S=2`. Anem a veure què li passa al rang de la matriu ampliada `S'`. $$\begin{pmatrix}2&1&1&3\\-1&2&2&1\\1&1&1&2\end{pmatrix}$$ Les dues columes el mig són la mateixa (per això Rang `S=2`) $$\begin{vmatrix}2&1&3\\-1&2&1\\1&1&2\end{vmatrix}=8+1-3-(6+2-2) = 0$$ Rang `S'=2` Taula de discusió:
2.2. Ho farem per susbtitució. Agafem la tercera equació: `x+y+z=2 => z=2-x-y` Ho substituïm a les altres dues $$ \begin{cases} 2x+ky+2-x-y=3\\ -x+2y+2(2-x-y)=1\\ \end{cases} $$ $$ \begin{cases} x+(k-1)y=1\\ -3x=-3\\ \end{cases} $$ $$ \begin{cases} x+(k-1)y=1\\ x=1\\ \end{cases} $$ $$ \begin{cases} x=1\\ 1+(k-1)y=1\\ \end{cases} $$ $$ \begin{cases} x=1\\ (k-1)y=0\\ \end{cases} $$ $$ \begin{cases} x=1\\ y=0\\ \end{cases} $$ $$ \begin{cases} x=1\\ y=0\\ z=1 \end{cases} $$ 2.1.
|