4B- L’Aina vol construir una capsa de cartró amb forma de prisma rectangular amb tapa, per guardar-hi la tauleta i el carregador. L’Aina vol fer un croquis en 3D de la capsa utilitzant un programa informàtic. Per a començar, situa un costat de la tapa des del vèrtex `A(1, 1, 1)` fins al vèrtex `B(4, 1, 5)`, i l’altre costat de la tapa des del vèrtex `A` fins al vèrtex `C(1, 10, 1)`. 4.1. Quines són les coordenades del quart vèrtex de la tapa? Calculeu les longituds dels dos costats de la tapa. [1 punt] 4.2. Sabent que els altres quatre vèrtexs de la capsa estan situats al pla `pi: –4x + 3z = 24`, calculeu les coordenades d’un d’aquests vèrtexs (qualsevol) i l’alçària de la capsa. [1,5 punts] 4.1. Calculem el vector `\vec{AB}=(4,1,5)-(1,1,1)=(3,0,4)` Calculem el vector `\vec{AC}=(1,10,1)-(1,1,1)=(0,9,0)` Si al punt `C` li sumem el vector `\vec{AB}` tindrem el punt `4t` `D=(1,10,1)+(3,0,4)=(4,10,5)` I per trobar la longitud dels costats podem calcular els mòduls: `|\vec{AB}|=\sqrt{3^2+0^2+4^2}=\sqrt{25}=5` `u` `|\vec{AC}|=\sqrt{0^2+9^2+0^2}=9` `u` 4.2 Em de suposar que la distància dels `4` punts al pla és la mateixa. Per calcular l'alçària de la capsa podríem calcular la distància de qualsevol dels `4` punts al pla i per trobar les coordenades d'algun dels altres `4` vèrtex (que pertanyen al pla podem calcular la intersecció entre el pla i una recta perpendicular que passi per qualsevol dels punts `A B C D`. Ho farm amb el pund `A`. Equació de la recta perpendicular al pla que passa per `A` (fem ervir el vector associat al pla com a vector director de la recta): `(x,y,z)=(1,1,1)+lambda(-4,0,3)` Les equacions paramètriques: $$ \begin{cases} x=1-4 \lambda\\ y=1\\ z=1+3 \lambda \end{cases} $$ Ho substituïm a l'equació del pla: `-4(1-4lambda)+3(1+3lambda=24` `-4+16lambda+3+9lambda=24` `25 lambda=24+4-3=25` `lambda=1` O sigui, el punt serà $$ \begin{cases} x=1-4 ·1=-3\\ y=1=1\\ z=1+3 ·1=4 \end{cases} $$ `A'=(-3,1,4)` I per trobar l'alçària podem calcular el modul del vector que va d'aquest punt a `A` `\vec{A A'}=(-3,1,4)-(1,1,1)=(-4,0,3)` Alçària `= |\vec{A A'}|=\sqrt{(-4)^2+0^2+3^2}=\sqrt{25}=5` `u` El problema no ho demana, però es podria veure si realment el cuadrilàter `ABCD` és un rectangle. Per fer-ho podem calcular el producte escalar entre `\vec{AB}·\vec{AC}=(3,0,4)·(0,9,0)=0+0+0=0`. O sigui, sí que són perpendiculars. I podem fer el producte escalar entre `\vec{A A'}·\vec{AB}=(-4,0,3)·(3,0,4)=-12+0+12=0`. O sigui, sí que és una capsa de sabates ben definida. Si ens demanessin el volum no caldria complicar-nos gaire la vida i podríem fer-ho: `V=5·9·5 = 225` `u^2` Caldria un últim detall, comprovar que les projeccions dels punts `BCD` al pla estan a la mateixa distància que la d'`A` a `A'` i per fer-ho podriem calcular l'equació del pla que passa per `ABCD` i veure que és paral·lel al pla donat. Això ho deiexem com a aexercici al lector. Recordeu que tot això de color verd, el problema no ho demana.