GEOMETRIA



-(2025-juny-1-4B) Considereu el pla `\pi` d’equació `x + y = 0`.

    a) Calculeu l’equació del pla `\pi'` que és perpendicular a `\pi` i conté els punts `P = (1, –1, 2)` i `Q = (3, –3, 6)`.
    [1 punt]


    b) Calculeu l’equació paramètrica de la recta continguda en `\pi'` i que conté els punts de `\pi'` a la mateixa distància de `P` que de `Q`.
    [1,5 punts]


SOLUCIÓ



-(2025-setembre-1-4B) Considereu el pla `\pi: 2x – y + z = 5` i el punt `P = (0, 1, 3)`.

    a) Comproveu que la distància del punt `P` al pla `\pi` és `\sqrt{6}/2`.
    [0,5 punts]

    b) Trobeu l’equació general d’un pla `\pi_1` paral·lel a `\pi` i que passi pel punt `P`. Quina és la distància entre `\pi_1` i `\pi`?
    [0,75 punts]

    c) Trobeu l’equació general d’un segon pla `\pi_2`, diferent de `\pi_1`, que és paral·lel a `\pi` i que estigui a una distància `\sqrt{6}/2` de `\pi`.
    [1,25 punts]



SOLUCIÓ



-(2024-juny-1-6) Considereu els punts `A = (1, 2, 3)` i `B = (–3, –2, 3)`.

    a) Calculeu l’equació del pla `pi` que és perpendicular a la recta `AB` i que passa pel punt mitjà entre `A` i `B`. Justifiqueu ue aquest pla està format, precisament, pels punts `P = (x, y, z)` que estan a igual distància de `A` que de `B`, és a dir, `d(P, A) = d(P, B)`.
    [1 punt]

    b) Calculeu les distàncies de A i de B al pla p i comproveu que són iguals. És casualitat? Raoneu la resposta.
    [0,75 punts]

    c) Sigui `C = (–7, 6, 3)`. El triangle `ABC` és isòsceles? Calculeu la seva àrea.
    [0,75 punts]


SOLUCIÓ



-(2024-juny-Tei-5-6) Considereu les rectes `r:(x-5)/4=(y-4)/3=(z-3)/(-1)` i
$$
s:\begin{cases}
x=4+2k\\
y=3+k\\
z=-1
\end{cases}
$$
    a) Quina és la seva posició relativa? Calculeu l’equació implícita d’un pla `pi` que sigui parl·lel a les dues rectes i que passi per l’origen de coordenades.
    [1,25 punts]

    b) Calculeu l’equació de la recta `t` que talla les dues rectes `r` i `s` perpendicularment.
    [1,25 punts]


SOLUCIÓ



-(2024-setembre-3-6) Considereu el punt `P = (1, 3, 0)` i el pla `\pi` d’equació `x + 2y – 2z = –7`.

    a) Sigui `r` la recta que és perpendicular a `\pi` i passa per `P`. Calculeu el punt d’intersecció de `\pi` amb `r`.
    [1 punt]

    b) Calculeu la distància `d` del punt `P` al pla `\pi`.
    [0,5 punts]

    c) Calculeu l’equació d’un altre pla `\pi'` que sigui paral·lel a `\pi` i que també estigui a distància `d` de `P`.
    [1 punt]


SOLUCIÓ



-(2023-juny-1-6) Siguin els plans `pi_1` i `pi_2`, determinats respectivament per les equacions `pi_1: x + y = 3` i `pi_2: x – z = –2`.

    a)Trobeu l’equació general `(Ax + By + Cz + D = 0)` del pla `pi_3`, que és perpendicular a `pi_1` i `pi_2`, i que passa pel punt `P = (4, 1, 2)`.
    [0,75 punts]

    b)Sigui `r` la recta d’intersecció de `pi_1` i `pi_2`. Calculeu l’equació vectorial de la recta `r`.
    [0,75 punts]

    c)Calculeu el punt `Q` de la recta `r` que és més a prop del punt `P`.
    [1 punt]

SOLUCIÓ



-(2023-setembre-2-5) Siguin `r_1` i `r_2` les rectes definides per `r_1: x – 1 = y = –z` i per `r_2: x = y = z`, respectivament.

    a) Calculeu l’equació paramètrica de la recta que talla perpendicularment les rectes `r_1` i `r_2`. [1,75 punts]

    b) Calculeu la distància entre `r_1` i `r_2`. [0,75 punts]

SOLUCIÓ


-(2020-juny-1-3) a) Calculeu l'equació general del pla `pi` que passa pel punt `(8, 8, 8)` i té com a vectors directors `u = (1, 2, -3)` i `v = (-1, 0, 3)`.

b) Determineu el valor del paràmetre `a` perquè el punt `(1, -5, a)` pertanyi al pla `pi` i cal­culeu l'equació paramètrica de la recta que passa per aquest punt i és perpendicular al pla `pi`.

SOLUCIÓ



-(2020-juny-3-5) Considereu la recta `r` d'equació `(x-1)/2=(y-3)/(-2)=z/1` i la recta `s` que passa pel punt `P = (2, -5, 1)` i que té per vector director `(-1, 0, -1)`.
    a) Estudieu la posició relativa de les rectes `r` i `s`.

    b) Calculeu l'equació general del pla que és paral·lel a la recta `r` i conté la recta `s`.

SOLUCIÓ



-(2020-setembre-4-2) Un avió es desplaça des d'un punt `A = (0, 3, 1)` cap a una plataforma plana d'equació `pi: x - 2y + z = 1` seguint una recta `r` paral·lela al vector `v = (1, -1, 0)`.
    a) Calculeu les coordenades del punt de contacte `B` de l'avió amb el pla i la distància recorreguda.

    b) Calculeu l'equació general del pla perpendicular a la plataforma i que conté la recta `r` seguida per l'avió des del punt `A`.
SOLUCIÓ


-(2020-setembre-4-6) Siguin les rectes `r` i `s`, expressades per `(x-3)/2= y = z - 1` i `(mu, -mu, mu)`, respectivament.
    a) Determineu la posició relativa de les rectes.

    b) Calculeu la distància entre la recta `r` i la recta `s`.
SOLUCIÓ




-(2019-juny-1-3)Un dron es troba en el punt `P = (2, -3, 1)` i volem dirigir-lo en línia recta fins al punt més proper del pla d'equació `pi : 3x + 4z + 15 = 0`.
    a) Calculeu l'equació de la recta, en forma paramètrica, que ha de seguir el dron. Quina distància ha de recórrer fins a arribar al pla?

    b) Trobeu les coordenades del punt del pla on arribarà el dron.

Nota: Podeu calcular la distància que hi ha d'un punt de coordenades `(x_0, y_0, z_0)` al pla d'equació `Ax + By + Cz + D = 0` amb l'expressió `|Ax_0+By_0+Cz_0+D|/sqrt(A^2+B^2+C^2)`

SOLUCIÓ



-(2019-juny-4-2) Siguin la recta:
$$
r:\begin{cases} x=2\\
y-z=1 \end{cases}
$$
i el pla `pi:x-z=3`
    a) Calculeu l'equació paramètrica de la recta que és perpendicular al pla `pi` i que el talla en el mateix punt en què el talla la recta `r`.

    b) Trobeu els punts de `r` que estan a una distància de `sqrt(8)` unitats del pla `pi`

Nota: Podeu calcular la distància que hi ha d'un punt de coordenades `(x_0, y_0, z_0)` al pla d'equació `Ax + By + Cz + D = 0` amb l'expressió `|Ax_0+By_0+Cz_0+D|/sqrt(A^2+B^2+C^2)`

SOLUCIÓ




-(2019-juny-4-5) Considereu els plans `pi_1: 2x + ay + z = 5`, `pi_2: x + ay + z = 1` i `pi_3: 2x + (a + 1)y + (a + 1)z = 0`, en què `a` és un paràmetre real.
    a) Estudieu per a quins valors del paràmetre `a` els tres plans es tallen en un punt.

    b) Comproveu que per al cas `a = 1` la interpretació geomètrica del sistema format per les equacions dels tres plans és la que es mostra en la imatge següent:

SOLUCIÓ



-(2019-setembre-5-5) Siguin `P`, `Q` i` R` els punts d'intersecció del pla d'equació `x + 4y + 2z = 4` amb els tres eixos de coordenades `OX`, `OY` i `OZ`, respectivament.
    a) Calculeu els punts `P`, `Q` i `R`, i el perímetre del del triangle de vèrtexs `P`, `Q` i `R`.

    b) Calculeu l'àrea del triangle de vèrtexs `P`, `Q` i `R`.
Nota: Per a calcular l'àrea del triangle definit pels vectors `v` i `w` podeu fer servir l'expressió `S=1/2 |v` x `w|` , en què `v` × `w` és el producte vectorial dels vectors `v` i `w`.

SOLUCIÓ